微分可能なのに尖ってる？
（ベクトルを全角大文字で書きます。）
『
パラメータtで表されるベクトルＸ = Φ(t)がt0で微分可能とは
Φ(t) = Φ(t0) + Α(t - t0) + Θ(t)
lim(t→t0) |Θ(t)|/(t - t0) = 0
なるΘ(t)が存在する事である
』
と、物の本で読みました。
そして微分可能な時
Α = Φ'(t0)を微分係数といい、t0での接線の方向ベクトル、
dＸ = Φ'(t0)dtを微分と言い、接線の方程式だそうです。
なるほどと納得してみたのですが実際の問題に当たったら不可解な点が出てきました。
Ｘ = (cos^3 t, sin^3 t)
というものです。きっと名前も付いてるような有名な図形だとは思うのですが。
dＸ = (-3 cos^2 t sin t, 3 sin^2 t cos t) dt
で一見微分可能なのですが、Excelで図形を書いてみた所、
(1,0),(0,1),(-1,0),(0,-1)の４点で尖ってるんです。
微分可能なのに尖ってるってどう言う事？とdＸを見直してみた所、確かにこの４点ではdＸ = ０となります。
でも
Θ(t) = (cos^3 t - 1, sin^3)
とおくと、計算すれば分かりますが
lim(t→0) Θ(t)/t = 0
が成り立ってるので定義から微分可能と言う事になります。
と言う事は、「見た目には尖って見えても微分可能である」と言う事があり得ると考えていいのでしょうか？
補足
2/k乗ですかね？もう一つ質問なんですが、リミットの（）内の指数って外にだせるんですか？例えば lim(5+x)~x乗={lim(5+x)}~x乗 x→0 x→0 っていう感じのはできるんですか？