原始関数を求める

質問

1/(x~2+1)~1/2をxで積分するという問題ですがわかりません。cosを使ってなど試しましたが余計に式が複雑になってしまいました。

回答No.1

noname#24583 · ベストアンサー

t=x+(x^2+1)^1/2とおきます。
すると
dt/dx={x+(x^2+1)^1/2}/(x^2+1)^1/2となり、
dx=(x^2+1)^1/2/{x+(x^2+1)^1/2}dtです。

するときれいに約分できてお馴染みの式に変わります。
答えを書くわけにはいかないので後は試してみましょう。

回答No.2

noname#21219

x=tanθとおきます。
∫dx/√(tan^2θ＋1)=∫dx/√(1/cos^2θ)
dx=dθ/cos^2θですから、それを代入し

∫dθ/cos^2θ・cosθ=∫dθ/cosθとなります

この分母と分子にcosθをかけると
∫dθcosθ/cos^2θ=∫dθcosθ/(1-sin^2θ)
=∫cosθ/{(1＋sinθ)(1-sinθ)}dθ　部分分数に分けて
＝(1/2)∫cosθ/(1＋sinθ)＋cosθ/(1-sinθ)dθ
＝1/2log｜1＋sinθ｜-1/2log｜1-sinθ｜
＝1/2log｜(1＋sinθ)/(1-sinθ)｜
x=tanθですから、sinθ=xcosθ=x√(1-sin^2θ)
よって、sin^2θ=x^2(1-sin^2θ)
よって、sinθ=√{x^2/(1＋x^2)}＝x/√(x^2＋1)
これを上の式に代入します。