内接する多角形の問題

質問

円に内接するn角形の内で面積が最大となるものは
正n角形であることを証明しなさい。

図を書いて考えたり、背理法を使うのかなどいろいろ考えてみたのですが、そもそも何角形で考えたらよいのでしょう。極限を使うのでしょうか。

回答No.5

moumougoo · ベストアンサー

図形で考えてみたいと思います。

まず、ｎ角形として、頂点にＡ1～Ａｎまで順番に名前をつけます。円の中心はＣとします。いま、Ａ1，Ａ2，Ａ3，Ｃに着目します。このとき、Ａ2を動かして最大になる点を考えてみますと、△Ａ1-Ａ3-Ｃの部分は変化せず、△Ａ1-Ａ2-Ａ3の部分が点Ａ2が動くことで変わります。辺Ａ1-Ａ3を底面とすれば、Ａ2がちょうど弧Ａ1-Ａ3の真ん中にきたときが最大の３角形となります。つまり、線分Ｃ-Ａ2が∠Ａ1-Ｃ-Ａ3を二等分するときに最大となります。

ここで、論理的に考えます。
全体として面積が最大であるときは、先ほどの議論を他の頂点の組Ａｋ-1，Ａｋ，Ａｋ+1，Ｃにも適用して、線分Ｃ-Ａｋは∠Ａｋ-1-Ｃ-Ａｋ+1を必ず二等分していなくてはならない（でなければ、Ａｋを動かして、より面積を大きくすることができてしまう）ので、結局、全ての角Ａｋ-Ｃ-Ａｋ+1は同じ大きさでなくてはならないので、正ｎ角形でなくてはならないということがわかります。

お礼

納得出来ました。助かりました。どうもありがとうございました。
機会がありましたら、またよろしくお願い致します。

回答No.4

mister_moonlight

毎度の事ながら、書き込みミスです。

＞sin(θ_1)+…+sin(θ_n)≦sin{θ_1＋‥‥＋θ_n}/nが成立する。‥‥‥(※)

　　　　　　　　↓

sin(θ_1)+…+sin(θ_n)≦(n)*{sin{θ_1＋‥‥＋θ_n}/n}が成立する。‥‥‥(※)

回答No.3

mister_moonlight

高校レベルでの質問でしょうか？
書き込みに手間がかかりますので、方針だけ書いときますので、実際の計算は自分でやってください。

考えられる方法は２つです。
(1)数学的帰納法を使う
(2)sinθは　0＜θ＜πの区間では上に凸である事を使う。

ここでは、(2)の方針だけ書いときます。
単位円に内接するn角形の面積は　(1/2){sin(θ_1)+…+sin(θ_n)}ですから、sin(θ_1)+…+sin(θ_n)が最大になればいいわけです。
sinθは　0＜θ＜πの区間では上に凸であるから、sin(θ_1)+…+sin(θ_n)≦sin{θ_1＋‥‥＋θ_n}/nが成立する。‥‥‥(※)
但し、等号はθ_1＝‥‥＝θ_nのとき、即ち、正n角形の時。

(※)が成立することの証明は、高校生にはちょっと難しいのですが、証明抜きで結果だけを使っても構わないと思います。

例えば、
円に内接する3角形の内で面積が最大となるものは
正3角形であることを証明しなさい。

という問題を考えて見てください。

補足

解答ありがとうございます。
sin(θ_1)+…+sin(θ_n)が最大になればいい
というところまでは納得しました。

しかし、

sinθは　0＜θ＜πの区間では上に凸であるから、sin(θ_1)+…+sin(θ_n)≦(n)*sin{θ_1＋‥‥＋θ_n}/nが成立する。‥‥‥(※)
但し、等号はθ_1＝‥‥＝θ_nのとき、即ち、正n角形の時。

の部分が考えたのですが理解出来ません。この不等式は、どこから導けるのでしょか。

３角形の問題でも考えてみたのですが、結局θ１+θ2+θ3の和が最大のところで止まってしまいました。
申し訳ありませんが、ヒントを頂ければ幸いです。

回答No.2

adinat

円の半径をrとして、各頂点と円の中心を結ぶ線分を引くと、円の中心はn分されます。その角をθ_1,…,θ_nとおきましょう。そうすると当然、
θ_1+…+θ_n=2π
となります。またこのとき角θ_iに対応する三角形の面積はr^2sin(θ_i)/2ですから、n角形の面積は
S=r^2/2*{sin(θ_1)+…+sin(θ_n)}
です。Sを最大にしたいのですから、結局この問題は、次のように言い換えられます。

Question:θ_1+…+θ_n=2πのときsin(θ_1)+…+sin(θ_n)が最大になるのは、θ_1=…=θ_nのときである。

では、これをどう解くのか、ということなのですが、このような多変数の条件付極値(あるいは最大・最小)問題は、ラグランジュの未定乗数法というのが大変便利です。ですが一応、大学レベルになるので、もし高校数学までの範囲で解こうとするなら、多少工夫するか、あるいは一変数の問題に帰着させることになります。二通り、略解を示しますから、参考にしてください。

【未定乗数法】
F(θ_1,…,θ_n,λ)=sin(θ_1)+…+sin(θ_n)-λ(θ_1+…+θ_n-2π)
とおきます。sin(θ_1)+…+sin(θ_n)が最大になるためには、Fの各変数に関する偏微分が0になることが必要です。したがって、各θ_iで偏微分することによって、
cos(θ_1)=…=cos(θ_n)=λ
なる条件を得ます。これから簡単な議論で、θ_1=…=θ_n=2π/nです。

【一変数に帰着させる方法（高校生向け）】
θ_3,…,θ_nをまず固定させて、θ_1とθ_2だけの関数とみます。もちろんθ_2=2π-(θ_1+θ_3+…+θ_n)ですから、θ_2はθ_1の関数です。したがってsin(θ_1)+…+sin(θ_n)をθ_1で微分すれば、
cos(θ_1)-cos(2π-(θ_1+θ_3+…+θ_n))
です。これはcos(θ_1)-cos(θ_2)のことですから、微分=0となるためには、cos(θ_1)=cos(θ_2)であればよい。次にθ_3を動かして（θ_4,…,θ_nは依然定数と思う）θ_1=θ_2としておけば、θ_3=2π-(2θ_1+θ_4+…+θ_n)ですから、sin(θ_1)+…+sin(θ_n)をθ_1で微分すれば、
cos(θ_1)+cos(θ_1)-2cos(2π-(2θ_1+θ_4+…+θ_n))=2cos(θ_1)-2cos(θ_3)
です。これが0になるためには、cos(θ_1)=cos(θ_3)でなければならない。これを繰り返せば、cos(θ_1)=…=cos(θ_n)です。

同じ論法ですが、背理法でも構わないです。もし、正n角形でないものが最大になれば、θ_1,…,θ_nの中で異なるものが存在します（全部等しければ正n角形）から、それをたとえばθ_1<θ_2とでもしましょう。上で述べたように、θ_3,…,θ_nは変えずに、θ_1だけ動かします（もちろんこのときθ_2も動く）。そうすると、sin(θ_1)+…+sin(θ_n)のθ_1微分は、cos(θ_1)-cos(θ_2)だったのだから、増減表を書いて、θ_1=θ_2のときが最大であることがわかります。これはθ_1<θ_2とした仮定に矛盾します。

いずれにせよ、この手の問題は、何かパラメータ(変数)を導入して、面積をそのパラメータで表示してみて、求めたい図形からちょっとずれてるとどうなるか（この場合は正n角形でないならθ_1<θ_2とできると仮定してみる）？と考えるのが基本です。変分原理と呼ばれる考え方で、大変重要なものです。

補足

とても丁寧な解答どうもありがとうございます。
この箇所がわかりません。

これはcos(θ_1)-cos(θ_2)のことですから、微分=0となるためには

微分＝０になるためっていうのは、これが定数であるべきということでいいのでしょうか？

回答No.1

omi3

弓の部分の面積を求める式を書けば、
証明できますよ。