数Aの真偽

質問

質問ですが、数Aの真偽がまったく分かりません。
どなたか、分かりやすく教えてくださいませんか？
『ｐ⇒ｑ』これです。
あと、逆、裏、対偶もお願いします。

回答No.3

Trick--o-- · ベストアンサー

命題：ｐならばｑ
逆：ｑならばｐ
裏：ｐでない ならば ｑでない
対偶：ｑでない ならば ｐでない

これらを四角形に配置します

命題 ------ 逆
｜　　　　　　｜
裏　 ------ 対偶

辺を横に移動すると命題が「逆」になる
辺を縦に移動すると命題が「裏」になる
対角線を移動すると命題が「対偶」になる
（逆の逆は元の命題
（裏の裏は元の命題
（逆の裏、裏の逆は対偶
＃逆と裏の位置が反対だったかも……ま、言ってることに変わりはない。

ある点の命題が真（偽）であるとき
・辺で隣接する命題は真（偽）であるとは限らない
・対角線で隣接する命題は真（偽）である

回答No.2

zap35

まず「客観的に証明できる問題」を命題といいます。その命題が正しければ「真」、誤っていれば「偽」となります

１)　一辺が４ｃｍの正方形の面積は１６ｃｍ2　である　→　命題であり、真
2)　東京都の人口は１千万人である　→　命題であり、偽（国政調査で人口は明確だが数字が不正確）
3）　私は小説を読むのが好きだ　→　判定不能なので命題にならない

例えば「人間はほ乳類である」という命題があります　Ｐ（人間）→Ｑ（ほ乳類）

逆はＱ→Ｐですから「ほ乳類は人間である」になります。「逆もまた真」という言葉はありますが、この命題の場合、逆は明らかに正しくありません。「ほ乳類である犬は人間ではない」からです

次に裏ですが┐Ｐ→┐Ｑ（┐は否定）ですから「人間でないものは、ほ乳類ではない」になります。これも正しくありませんね。なぜなら「人間ではない犬もほ乳類だから」です

最後に対偶ですが┐Ｑ→┐Ｐですから「ほ乳類でないものは人間ではない」になります。
ほ乳類ではない「トカゲ（は虫類）」や「カエル（両生類）」「白鳥（鳥類）」は人間にはなりえませんので、命題が正しければ対偶も真となります。

反対に偽の命題の対偶も偽になります
例）「１円玉の質量は２ｇだ」（偽、本当は１ｇ）の対偶は「２ｇでないものは１円玉ではあり得ない」になりますが、これは実際に１円玉の重さを量れば１ｇと分かるので、簡単に「偽」の証明が可能です。

命題とその対偶は真偽が必ず一致しますので、数学では命題の証明のために、対偶を取ってそちらを証明する方が簡単に証明できる場合があります。数学では命題が偽と証明するためには「たった一つの反対例」を示せば良いことになっているので、命題と対偶でどちらが反対証拠を出しやすいかを考えて、簡単な方を証明すれば良いのです。

回答No.1

noname#17350

命題が、「pが正しいのならqも正しい」だとします。
逆というのは、「qが正しいのなら、pも正しい」ということです。
裏というのは、「pではないということが正しいのなら、qではないということは正しい」ということです。
対偶は「qでないということが正しいのなら、pではないことは正しい」ということです。

検索で例があったので。のせて置きます。（￢Ｐは、Ｐでないならば、という意味です）

以下に例を挙げる。
　Ｐ＝「私は街路を歩いている」
　Ｑ＝「街路には人が居る」
　とする。

　当然、「Ｐならば、Ｑ」＝「私は街路を歩いている、ならば、街路には人が居る」は真である。最低でも私が街路にいるのだから。

　では逆命題「Ｑならば、Ｐ」＝「街路には人が居る、ならば、私は街路を歩いている」…これは明らかにオカシイ、街路に人が居るからといって、自分も街路に居るという事にはならない。

　さらに裏命題「￢Ｐならば、￢Ｑ」＝「私が街路を歩いていない、ならば、街路には人が居ない」…これも、必ずしも正しいとは限らない、私が街路に居なくても、“私ではない誰か”が街路を歩いている事はある。

　最後に対偶命題「￢Ｑならば、￢Ｐ」＝「街路に人が居ない、ならば、私は街路を歩いていない」…これは真である。
　街路に人が居ない。といっているのだから、当然私も居ない。もし「私が街路を歩いている」なら、「街路に人が居る」という事になってしまう。