継続・困っています…orz(全微分：再考)
前回の書き込みで皆様に頂いたご指摘を元に定義の導出を考えてみました。
稚拙なものですが、アドバイスをいただきたく思います。
お手数をお掛けいたします。
>>全微分可能の定義を述べよ
>>関数f(x,y)の定義域内で点(a,b)から点(a+h,b+k)に移動した場合を考える。
f(a+h,b+k)を近似する二変数多項式が存在するならば、
h,kを変数、A,Bを定数として、f(a,b)+Ah+bkと表すことができる。
f(a+h,b+k)をf(a,b)+Ah+bkで近似した際の誤差を関数ε(h,k)で示すと、
f(a+h,b+k)=f(a,b)+Ah+bk+ε(h,k)と表現できる。
近似誤差に着目すると、
ε(h,k)=f(a+h,b+k)-f(a,b)-(Ah+bk)…(1)
微分可能であるためには(a,b)と(a+h,b+k)の
2点間の距離√(h^2+k^2)が0に近づくにつれて近似誤差ε(h,k)が0に近づけば良い。
ただし、近似誤差ε(h,k)より先に2点間の距離√(h^2+k^2)が0になる場合、
ε(h,k)が0に十分近くならないことがあり、誤差が無視できなくなる。
つまり、2点間の距離√(h^2+k^2)より先に近似誤差ε(h,k)が0に近づく必要がある。
式で表すと lim[(h,k)→0] ε(h,k)/√(h^2+k^2) =0…(2)
(距離√(h^2+k^2)より先に誤差ε(h,k)が0に近づくと0になり、逆の場合は∞になる)
(2)に(1)を代入してlim[(h,k)→0] {f(a+h,b+k)-f(a,b)-(Ah+bk)}/√(h^2+k^2) =0
この式が成り立つ場合、全微分可能と言える。
又、{f(a+h,b+k)-f(a,b)-(Ah+bk)}/√(h^2+k^2)=εと表現した時、
f(a+h,b+k)-f(a,b)-(Ah+bk)=ε√(h^2+k^2)
f(a+h,b+k)-f(a,b)=Ah+bk+ε√(h^2+k^2)かつlim[(h,k)→0] ε = 0となる。
補足
大変分かりやすい説明ありがとうございます。 200＞Ｂk＞-１です。Ｂkの値によっては極大をもつ場合があります。（Ｂkの値によっては単調増加、単調減少の場合あります）。極大を持つ場合、ａを求めたいのですが、ｎ次関数で考えやすくなり、自分でも考えてみましたが、多分答えはでないでしょうね。 ありがとうございました。