こんな微分とけるんでしょうか？

質問

Ａが変数、Ｂｋがｎ個の定数として

α＝10＾〔Σｋ＝1→ｎ　ｌｏｇ{Ａ（Ｂｋ-1）+1}〕を微分して、αを最大にするＡをＢｋを用いて表したい。

Σ記号横書きでうまく書けませんでしたが、例えば、Ｂ1＝0.5、Ｂ2＝2とすると、以下の意味
α＝10＾〔log{Ａ（0.5-1）+1}+log{Ａ（2-1）+1}〕

よろしくお願い致します。

回答No.1

take008 · ベストアンサー

問題を整理しましょう。
Ａをｘ，Ｂk－１をＣk，１/ＣkをＤk と書くことにします。
10^[※]がｘ＝ａで最大 ⇔ ※がｘ＝ａで最大　だから ※ だけ考えればよい。
log{Ａ(Ｂk－１)＋１}＝log{ｘＣk＋１}＝log{Ｃk(ｘ＋Ｄk)}
logＰ＋logＱ＝log(ＰＱ) だから ※は
log{Ｃ1(ｘ＋Ｄ1)Ｃ2(ｘ＋Ｄ2)…Ｃn(ｘ＋Ｄn)} となる。
これが最大になるｘは，
　Ｃ1Ｃ2…Ｃn(ｘ＋Ｄ1)(ｘ＋Ｄ2)…(ｘ＋Ｄn)
が最大になるｘで，それはまた
　ｆ(ｘ)＝(ｘ＋Ｄ1)(ｘ＋Ｄ2)…(ｘ＋Ｄn)
が最大になるｘである。（Ｃｋ＞０，すなわち Ｂk＞１ と仮定しました）

ｆ(ｘ)はｎ次関数なので考えやすくなりました。
しかし，いくらでも大きくなって最大になりません。
きっとｘの範囲があるのでしょうね。

補足

大変分かりやすい説明ありがとうございます。

200＞Ｂk＞-１です。Ｂkの値によっては極大をもつ場合があります。（Ｂkの値によっては単調増加、単調減少の場合あります）。極大を持つ場合、ａを求めたいのですが、ｎ次関数で考えやすくなり、自分でも考えてみましたが、多分答えはでないでしょうね。
ありがとうございました。

回答No.2

tarame

微分するだけなら、対数微分法を使う？
log(α)＝log10×〔Σ[k=1,n]log{A(Bk-1)+1}〕
両辺をＡで微分すると
(1/α)(dα/dA)＝log10×〔Σ[k=1,n](Bk-1)/{A(Bk-1)+1}〕
ｄα/dA＝α×log10×〔Σ[k=1,n](Bk-1)/{A(Bk-1)+1}〕