マッハ数が小さいと圧力が一定？？

質問

ある領域を横切る流れのマッハ数が極めて小さいと、ある領域全体にわたって圧力一定とみなせるのはなぜでしょうか？

マッハ数が小さい→流れが遅い→？？？圧力とどう関係するのでしょうか？

回答No.1

ElectricGamo · ベストアンサー

数式を使って説明するなら、以下のようになります。

圧力はマッハ数により変化しますが、その関係は(マッハ数が0の際の圧力をP0として)

　　P=P0/{1+(γ-1)/2*M^2}^(γ/(γ-1))

と書けます。この式の導出はほとんどの流体の本に書かれているので省きますが、流れのエンタルピーが変化しないことと熱の出入りがないことを仮定すれば導き出せます。

M<<1の場合には、(1+x)^n≒1+nx を用いて

　　P=P0/(1+γ/2*M^2)　　(1)
　　 =P0*(1-γ/2*M^2))

となります。マッハ数が極めて小さい場合は、M^2≒0 でしょうから、P≒P0で一定とみなせます。

ちなみに、(1)を変形すると

　　P0=P*(1+γ/2*M^2)=P*(1+γ/2*u^2/(γRT))=P+1/2*ρu^2

ということで、おなじみのベルヌイの式が出てきます。ベルヌイの式は非圧縮が条件ではなく、マッハ数が小さいことが成り立つ条件です。

次に数式を使わずに定性的に説明してみます。大雑把な説明です。

ある向きに流れている流体を見た場合、流れの中の気体分子は、個別に見るとランダムな動きをしていますが、全体を眺めると一様な向きに動いています。流体全体で見た場合、このランダムな動きは熱エネルギーとして、一様な動きは運動エネルギーとして感じます。流れのエネルギーは保存されるので、熱エネルギーが減れば運動エネルギーは増え、熱エネルギーが増えれば運動エネルギーが減ります。

ところで、圧力とは言わば熱エネルギーの大小を表す尺度です。もし、マッハ数が小さければ、運動エネルギーが小さいということで、エネルギーは保存される以上、熱エネルギーの変化も小さいということになります。つまり圧力はほとんど変化しないということです。

逆に、マッハ数が大きくなれば、運動エネルギーが増えて、熱エネルギーが減るので、圧力は下がります。

ということで、エネルギー保存が成り立っていることを意識すれば分かり安いかと思います。

お礼

ありがとうございます。

一番最初に出てきた式は一言で言えば、「圧力とマッハ数の関係を導いてきた式」ってことでいいでしょうか？（あとγは比熱比でいいですか？）

回答No.2

ElectricGamo

＞一番最初に出てきた式は一言で言えば、「圧力と
＞マッハ数の関係を導いてきた式」ってことで
＞いいでしょうか？（あとγは比熱比でいいですか？）

その通りです。γは比熱比です。他にも、温度、密度とマッハ数の間には

　　T=T0/(1+(γ-1)/2*M^2)
　　ρ=ρ0/{1+(γ-1)/2*M^2}^(1/(γ-1))

の関係があります。

お礼

ありがとうございます