平面図形の計量

質問

3辺の長さがそれぞれ3，4，5となる直角三角形について
各頂点を中心として、各々が外接するような円を描きその三円によって囲まれた内部にその3円全てに外接するような円を書く。このとき最後に描かれた円の半径はなにか？

このようなケースの問題の場合初等幾何よりも解析幾何で解くとよいと言われましたが、いまいち座標平面状に乗せるというとき方でといたことないためかしっくり着ません。
　まずなにをするべきなのでしょうか？
私は補助線とか引っ張ったりする初等幾何の方が慣れています。

　でも解けませんでした。r=6/23だそうです

回答No.1

pyon1956 · ベストアンサー

解析幾何で解くのなら座標を決めないといけません。とりあえず元の直角三角形の頂点の座標を決めましょう。たとえば直角とを原点に、あとの２頂点をたとえば(4 , 0)と(0 , 3)に置きましょう。
3つの円の半径は簡単な連立方程式で直角を中心とするのが1、長さ３の辺の対角中心の円のが３、長さ４の辺の対角中心のが２とわかります。
中心を(x , y)とおきましょう。
内接する円の接点とそれぞれの中心は一直線上に並ぶので、(x , y)と３つの頂点との距離を考えるとr=1+√(x^2+y^2)=2+√{(x-3)^2+y^2}=3+√{(x-4)^2+y^2}
この連立方程式を解いたらいいのです。ただしx<4,y<3になるのは言うまでもありません。

お礼

よく分かりました。やや複雑な式がでますが・・・。
ありがとうございます。