単位ベクトル？の問題＞＿＜

質問

２点Ａ（１．０）、Ｂ（－１，√３）を結ぶ線分ＡＢを１：２に内分する点をＣとする。このときＯＢ→、ＯＣ→と同じ向きの単位ベクトルは、
それぞれe2→＝（ア）....
e3→＝(イ）......である。e1→＝ＯＡ→とし、ｌ、ｍ、ｎが正の数で、ＯＬ→＝ｌe1→.
ＯＭ→＝me2→. ＯＮ→＝ne3→とする。　Ｌ，Ｍ，Ｎが同一直線上にあるとき、ｎをｌとｍで表せば、
ｎ＝（ウ）.....となる。

誰かこの問題を教えてください＞＿＜
e2→,e3→,e1→が良くなんのことか意味がわかりません。

まず、題意の通りに、２点Ａ（１．０）、Ｂ（－１、√３）の点を打ち、線分ＡＢを結んで、このＡＢに対して内分する点をＣを描きました。　そしてその後に点０を作ってここから、Ａ、Ｂ、Ｃ、に対して線を引いたら三角形が出来ましたので、ＯＣの長さを分点比公式を用いて求める事ができました。

ＯＣ→＝2/3OA+1/3OB＝(2/3.0)+(-1/3,√3/3)
=(1/3,√3/3)このあと、この結果を用いて
単位ベクトルを求めなくてはいけないのですけど
単位ベクトルがよくわからないので、これから先に進めませんでした。
なんか絶対値のカッコがついて｜ＯＣ→｜＝2/3になるらしいのですが＞＿＜？どうやって求めたり、考えているのか、良く解りません。

また、この問題でいうe2→とかeについて、これは何の長さのことなのかわかりません＞＿＜？？

次に題意の二つ目の問題で、Ｌ，Ｍ，Ｎが同一直線状にあるとき～の部分については、どうしたらよいのか全然わかりませんでした＞＿＜
誰か教えてください、お願いします＞＿＜！！！

回答No.4

hika_chan_ · ベストアンサー

ベクトルの矢印(→)は[]で表すことにします
例：a→＝[a]

では、[e2]・・・[b]の単位ベクトル
単位ベクトルは大きさが「１」のベクトルです。

大きさの出し方は知っていますか？
例1：
[a]=(2,3)の時
|[a]|^2=2^2+3^2
|[a]|^2=4+9
|[a]|^2=13
|[a]|=√13・・・・・2乗を外します(つまりルートをかける)。大きさ(長さ)はプラスなので、プラスの方だけを使います。

このようにして|[b]|を求めてください。

問題は|[c]|ですよね？
まずこれを見てください。
例2：
x=3とx=6の間をa:bに内分した点をAとします。Aの座標を求めなさい。
(3a+6b)/(a+b)・・・・・これで座標が求められます。
a:b=1:2の時、上の公式に当てはめると、4と出ますよね？(数直線を書いて確認してみてください。y座標にも使えます)

同じようにして
[c]の成分を求めてみてください。
そうしたら|[c]|も求めてみてください。ここは簡単ですよね？

おそらく2/3になると思います。(絶対計算してください)

では、[e2]の求め方
まず|[b]|の大きさを知る必要があります。例1を参考にして計算してください。

おそらく2になったはずです。
|[OB]|=2・・・・[OB]の大きさが２
この「大きさ」を１に変えた物が「e2」なんですよ。

じゃあどうしたら大きさを１に変えられるでしょうか？

簡単ですよね。２に1/2をかければイイ！
２っていうのは|[OB]|のことだから

1/2*|[OB]|=1・・・・・ここまではOKですか？これは大きさが1になりましたよね？だから
1/2*[OB]=[e2]・・・・・ってなるんですよ

同じようにして[e3]も考えてみてください。

ちなみに、[e1]=|[a]|っていうのは大丈夫ですか？

|[a]|^2=1^2+0^2
|[a]|^2=1
|[a]|=1・・・・大きさが１だから[e1]と一緒

大きさが１だからe1もe2もe3も一緒でしょ？？
って思うかもしれませんが図を書いてみてください。

向きが違うんですよね～。だから同じにしちゃダメなんですよ

お礼

返事書いていただいて、どうもありがとうございました！！おかげで、わかりました！！　本当にありがとうございました！！！！！！！！！！！

回答No.3

debut

１．２つのベクトルの方向が同じ(平行)・・ａ→＝ｋ*ｂ→　（ｋは０でない実数）
２．ベクトルの大きさ・・ａ→＝（ｘ，ｙ）のとき　｜ａ→｜＝√(ｘ^2＋ｙ^2)
３．単位ベクトル・・大きさが１のベクトル

ということを使って計算します。

ｅ２→はＯＢ→と方向が同じだから
　ｅ２→＝ｋ*ＯＢ→　と置けて　ｅ２→の成分は（－ｋ,(√３)ｋ）
ｅ２→は大きさが１だから
　(－ｋ)^2＋{(√３)ｋ}^2＝１　　（←本当は左辺全体が√に入るけど
　　　　　　　　　　　　　　　　　右辺が１なので必要ないでしょう）
　ここからｋの値（ｋ＞０）を求めればＯＫ

ｅ３→もＯＣ→の（1/3,√3/3）を使って　同様にすればよいです。

Ｌ，Ｍ、Ｎ　が一直線上であることは、ＬＮ→のｋ倍がＬＭ→と考えて、
（最初に書いた１．のことから）
ＬＮ→をＯＬ→、ＯＮ→を使って、ＬＭ→をＯＬ→とＯＭ→を使って
表して式を作ると、　ｎｅ２→－ｌｅ１→＝ｋ(ｍｅ３→－ｌｅ１→)
ここに成分を代入してまとめると
　　　　(ｎ/２－ｌ,(√３/２)ｎ)＝ｋ(－ｍ/２－ｌ,(√３/２)ｍ)
連立させて
　　　　ｎ/２－ｌ＝ｋ(－ｍ/２－ｌ)・・・（ア）
　　　　ｎ＝ｋｍ　・・・（イ）　　　　←√３/２は同じだから消した
（イ）からｋ＝ｎ/ｍを（ア）に代入して、ｎについて解けばＯＫ。

計算が大変そうだけど、がんばって！

お礼

debutサン！返事いつも書いていただいて、どうもありがとうございます！！　おかげで理解する事ができました！！本当にどうもありがとうございました！！！！！！！！！！！

回答No.2

neuro-scientist

はじめまして。

敢えて解答は載せないつもりです。だって、あともう少しで解けそうなところまであなたは来ているのだから。

『単位ベクトル』とは”長さが1のベクトル”のことです。つまりベクトルの絶対値が1なのです。ゆえにe1→=OA→なのです。だって、|OA→|=1ですから。

あと、ベクトルの絶対値の求め方は、例えばx→=(a,b)だとしたら
|x→|=√(a^2+b^2)
です。a^2は”aの2乗”を表します。ベクトルの絶対値は幾何的には矢印の長さに対応していると考えてよいです。（混乱するかもしれませんが、三平方の定理と関係しています）

また、
＞Ｌ，Ｍ，Ｎが同一直線状にあるとき・・・
とありますが、これは問題としてよく出されるパターンです。これはこのように解釈すればよいでしょう；
「Ｌ，Ｍ，Ｎが同一直線状にあるとき」
⇒「LM→とLN→は平行」
⇒「LM→=k・LN→」
ただし、kはある実数です。

がんばってください

お礼

neuro-scientistサン！初めまして！！　返事書いていただいてありがとうございました！！！　凄く丁寧に説明していただいて、何度も読み返してます！！！
本当にありがとうございました！！！！

回答No.1

noname#33628

単位ベクトルっていうのは、長さが１のベクトルです。

つまり、絶対値が１になれば良いです。
例えば、原点（０，０）と点（２，２）を結ぶ方向の単位ベクトルを求めるとすると、
原点から（２，２）までの距離が
√（２^2＋２^2）　＝　√８　＝　２√２
なので、単位ベクトルは、
（２÷２√２，２÷２√２）
　＝（１／√２，１／√２）

これと同じやり方でｅ２→とｅ３→は簡単に求まりますね。

ベクトルＯＡ→は、元々絶対値が１なので、ｅ１→と等しくなります。
つまり、ｅ１→を問題にするのは阿呆くさいので、ｅ２→とｅ３→しか出題していないわけです。

そんな感じで、やってみてください。
ウも、きっと出来ると思いますが、つまづいちゃったら、また別の質問にするのもよいでしょう。

「単位ベクトル」は、長さを掛ければ直線の長さが求まるという便利な概念で、後々、大学の数学や物理でも出てくる大事な概念でもあります。頑張ってみてください。

お礼

jbgサン！返事書いていただいてどうもありがとうございました！！　大学の物理や数学で出てくるのですか？！　＞＿＜！！　もっと沢山勉強しないと駄目だと実感しました！！　返事書いていただいて、本当にどうもありがとうございました！！！！！！！！！！