回転放物面 z=x^2+y^2 の面積を求める。

質問

回転放物面 z=x^2+y^2　（D:x^2+y^2≦1）の面積を

極座標(r,θ)を用いて

x=rcosθ
y=rcosθ
z=r^2

を用いて計算していったところ

7π/3　となりました。

途中式の不安から質問に至るのですが、これでよいのか・・・考え中です。

もし違うなら捕捉で途中式を追加していきます。

お助けよろしくお願いします。

回答No.1

jaspachate · ベストアンサー

球の場合もそうですが、面積積分の公式を当てはめようとするより、それを導く過程を応用するのが重要です。
回転体の場合xy面内で一様な回転ですから円筒座標を用いるところまでは良いですが、面積素片をちゃんと考察しなければなりません。

この回転放物面はz軸の周りの回転ですから、z軸を含む平面が回転体表面を切ったときの放物線の接線と、回転方向が直交するのは明らかです。
従って面積素片は (回転方向の線素)×(放物線の線素)になります。

回転方向の線素 = rdθ
放物線の線素 = √( (dz)^2 + (dr)^2 ) = √( 1 + (∂z/∂r)^2 ) dr
= √( 1 + (2r)^2 )
従って、面積素片は、
dS = r√( 1 + (2r)^2 ) drdθ
個々に、r=0～1、θ=0～2π

で、答えは　7π/3 にはなりません。

円筒座標での公式、
dS = √( r^2 + r^2(∂z/∂r)^2 + (∂z/∂θ)^2 ) drdθ
も上に一致することがわかります。

お礼

補足の訂正

答えは (5√5 - 1)π/6

に、なりました。 何度も失礼しました・・・

補足

ご回答ありがとうございます。

追記　私のやり方で
答えが　5π√5/6 になりました。

回答No.2

jaspachate

>(5√5 - 1)π/6
で合っています。解決ですね。

お礼

返事が遅れてしまい申し訳ありません。
ささいな計算ミスがめだっていたので、
落ち着いて考えてやっていこうと思います。
ありがとうございました。