ΣΣを∬に変換する方法について

質問

Σ_[i=1,n]Σ_[j=1,n]{1/(n+i+j)^2} , （n→∞）

なのですが、実際に展開して解く以外の方法が思いつきません。
なんとなく形から重積分の形に直せばいい気もするのですが、

　1/(n+i+j)^2

をf(ξ,η)と見るとして、Δをどこから持ってくればいいのか見当が付きません。
解法の手順について手解きを願いします。

回答No.6

atomicmolecule

答えはlog(4/3)で結構です。
私がいったのはこの和はｎ→∞を実行する前に計算できるといっているのです。貴方の宿題の答えを私が全てやるのはおかしいと思ったから方法を提示したまでです。だから
n→∞での収束性は自分でチェックして答えを出せばよいということを言いたかったのです。そんなに的外れなことは言って無いとおもいますが。あなたがΨ(x)関数について知っているのならこの答えは有理関数とΨ関数でかけるということに気がつくでしょう。そこから極限をとればlog(4/3)がでます。数学は答えは一つでも方法は多くあります。自分の理解が全てではないのです。

最後に答えもやり方も分かっているならここで質問するのは失礼です。積分でやる方法は＃１さんので直ぐできます。少なくとも積分で解く方法は＃１さんの最初のコメントで全て終っているようです。

お礼

>私がいったのはこの和はｎ→∞を実行する前に計算できるといっているのです。

なるほど。
でも下のほうのコメントで既に収束性は書いていたので（区分求積法の計算過程）、
結果的にちょっと変なコメントをした事になってしまいました。すみません。

>数学は答えは一つでも方法は多くあります。自分の理解が全てではないのです。

それは十分承知していますよ。だから#1さんの「間違っている」発言が何故なのかが知りたかったのです。
あと、波動関数に関しては知りませんでした。ありがとうございます。調べてみます。

>最後に答えもやり方も分かっているならここで質問するのは失礼です。

ごめんなさい、類題を解いたことがなかったので、自分の考えが本当に正しいかどうかが知りたかったのです。
答えはatomicmoleculeさんの解答を見て確証を得させていただきました。
積分でやる方法は#1さんのお礼のところで書いたのですが、それが間違いと言われたので区分求積で求めました。

補足

>でも下のほうのコメントで既に収束性は書いていたので（区分求積法の計算過程）、

ちょっとわかりにくいかもですね。
「ｎ→∞を実行する前に計算できる」のは「区分求積の結果でわかっていた」ということで、結果的にatomicmoleculeさんの書き込みを曲解してしまったということです。

回答No.5

atomicmolecule

これは何のために必要なんですか？　この和は解析的にとけます。n=1000のときの値は０．２８７３４９です。注意しておかなければならないのは極限が存在することを数学的におさえておかなければなりません。極限が取るのが面倒なので最後まで計算してませんが、極限が存在するならこのくらいでよい値になってるかもしれません。

お礼

問題集の問題から引っ貼ってきました。
解答・解説が付いていないので聞いてみました。

問題をよく読んでください。
1/(1+x+y)^2と1/(1+x+y)でxとyは負になることは無いから定義域全体において連続です。
なのでそれをいくら分割したって発散はしませんよ。

っていうか、明らかに区分求積法をそのまま適用出来る気がしてならないのですが。

解は
2ln2-ln3=0.287682072
なのであっていると思います。
勿論最初の方に書いた定義域でも同じ解になっています。

というか、余りにも的外れな意見が多すぎるので、
5時までに有用な意見が出ませんでしたら失礼ながら
評価無しとさせて頂きます。

補足

ちなみに大学初級レベルの微積の問題でした。
とりあえずn→∞の時の厳密解を求めたいので。

というかそれって「解析的に解いた」って言えるんですか？

回答No.4

uyama33

1/n はｎが大きければ
０
です。
　積分範囲は、ｘ、ｙともに
０から１。したがって。
その和は０以上です。

お礼

どう見ても和は0以上なんですが・・
log4-log3ですよ？

意味が全く判らないのですが・・

補足

あと連続ってわかっているのだから
limとΣ（∫）入れ替えても何の問題もないと思うのですが。

何をどう判断して間違いとしたのですか？

回答No.3

uyama33

積分範囲が間違っています。

お礼

区分求積法・・
二次元では

f(x)=1/(x+1)^2
f(i/n)=1/(i/n+1)^2
lim(1/n)Σf(i/n)＝∫[x=0,1]{1/(x+1)^2}dx

こうですか？
だから積分範囲は0,1

補足

実際に解いてみたところ・・

limΣΣ{1/(1+x+y)^2}(1/n^2)
=lim(1/n)Σ[(1/n)Σ{1/(1+x+j/n)}]
=lim(1/n)Σ∫[y=0,1]{1/(1+x+y)^2}dy
=-lim(1/n)Σ{1/(x+2)-1/(x+1)}
=-lim(1/n)Σ{1/(i/n+2)-1/(i/n)+1}
=-∫[x=0,1](1/x+2-1/x+1)dx
=-[log|x+2|-log|x+1|]
=-{(log3-log2)-(log2-log1)}
=-(log3-2log2)
=-log3+2log2

えっと、これ↓の方に書いた積分範囲での答えと
全く一緒なのですがなんでしょうかこれ。

回答No.2

uyama33

だめです。
もっと簡単な１次元の例
で考えてください。
高校の教科書にあるような例です。

お礼

えーと・・
全く同じになるんですけど？

どこがおかしいのかわかりませんorz
一次元でやっても結局区分求積に回帰すると思うんですけど・・

補足

書き忘れ。
No.4に対する補足で、「連続」じゃなくて「一様連続」でしたね。

回答No.1

uyama33

1/(n+i+j)^2
=((1/n)^2)(1/(1+(i/n)+(j/n))^2)
となり、
i/n　を x、 j/n を　y
とする。
積分範囲は、自分で考えて！！

お礼

領域Dって、定義から考えると単純に(i,j)に(1,1)と(n,n)を入れるだけですよね？
そうすると
　∫[y=1/n,1]dy∫[x=1/n,1]{1/(1+x+y)^2}dx , （n→∞）
で、x+y=-1の時に
　1/(1+x+y)^2
が不連続なので広義の重積分に持ち込む。

これでOKですか？

補足

＞不連続なので

これは間違いでした。