変成器回路

質問

問題: 写真の回路における端子2-2'から見たインピーダンスを求めよ。

答え: Z=[jωLb{jωLa+(n^2)/(jωC)}]/{jωLb+jωLa+(n^2)/(jωc)}
={jωLb(n^2-(ω^2)LaC)}/{n^2-(ω^2)(La+Lb)C}

質問です。
Zを求めるために、まずインダクタンスLaのコイルのインピーダンスをZa, LbのコイルをZb, 容量CのコンデンサをZcと置いて、Fパラメーターで計算した所, [(1,1)成分, (1,2)成分; (2,1)成分, (2,2)成分]として、[F]=
[1,0 ; 1/Zb, 1]*[1,Za ; 0,1]*[n,0 ; 0,(1/n)]*[1,Z3 ; 0,1]
=[n, (nZ3+1+(Za/n)) ; n/Zb, ((nZ3/Zb)+(1/Zb)+(Za/nZb)+(1/n))]となりました。

[v2;i2]=[F]*[V1;i1]より、
v2=n(v1)+[{(n^2)Z3+n+Za}/n]*i1
i2=(n/Zb)v1+[{(n^2)Z3+n+Za+Zb}/(nZb)}]*i1

v1= - Z3*i1を上の2式にそれぞれ代入すると、
v2={(n+Za)/n}*i1
i2={(n+Za+Zb)/nZb}*i1となり、この2式より端子2-2'から見たインピーダンスは、
Z=v2/i2={Zb(n+Za)}/(n+Za+Zb)となりました。
ここでZa=jωLa, Zb=jωLbとして、答えの式と比べてみると、nが(n^2)/jωCとなっている所以外は同じになりました。
ここで質問ですが、私の求めた式は正しいのでしょうか。もし、正しい場合はnを(n^2)/jωCに変換するにはどのようにしたら良いのでしょうか。逆に間違っている場合は式をどのように立てたら良いのか教えてください。

回答No.3

178-tall · ベストアンサー

>[F]は右側の端子2-2'から左側1-1'端子に向かって順番に作りました。確かに[F]のBとDのみを取り出し、B/Dとすると答えと一致しています。
>しかし、これは一体なぜでしょうか。　[F]のAとC成分に関しては、Zを求めるためには必要が無いのでしょうか。

(ANo.2) → 「添付図の C (1 - 1') を直列枝として反転したときの F 行列」だとすると、
所望の Z は、右 2 ポートを短絡 (V2=0) したときの左ポートから見こんだインピーダンス (V1/I1)、
つまり、
　Z = B/D
に相当するはず。

お礼

[F]パラメーターで行列式を作る際に、最後の容量Cの直列枝の直後の電圧がv2の時、v2=0になる訳ですね。確かに容量Cの後は、インピーダンス等は何もなく、端子間は短絡されています。
私の場合左右端子を反転せずに、そのまま右側のスタートの電圧をv2、ゴールの左側末端の電圧をv1としていため、v1=0とすれば良かった訳ですね。

本当に助かりました!!!

回答No.2

178-tall

>[F] = [1,0 ; 1/Zb, 1]*[1,Za ; 0,1]*[n,0 ; 0,(1/n)]*[1,Zc ; 0,1]
　　　↑
これは、添付図の C (1 - 1') を直列枝として左右 2 ポート反転したときの F 行列。

ならば、
　Z = B/D
　　= {(n^2)Zc+Za}/n] / [{(n^2)Zc+Za+Zb}/nZb]
　　= …
で得られそう。

お礼

[F]は右側の端子2-2'から左側1-1'端子に向かって順番に作りました。確かに[F]のBとDのみを取り出し、B/Dとすると答えと一致しています。
しかし、これは一体なぜでしょうか。
[F]のAとC成分に関しては、Zを求めるためには必要が無いのでしょうか。

回答No.1

178-tall

タイプミスかな？

　　↓

v2=n(v1)+[{(n^2)Z3+n+Za}/n]*i1 → B = {(n^2)Zc+Za}/n

i2=(n/Zb)v1+[{(n^2)Z3+n+Za+Zb}/(nZb)}]*i1 → D = {(n^2)Zc+Za+Zb}/(nZb)}

補足

ご指摘の通り私のタイプミスでした。
誤ってZcをZ3, そして理想変成器部分のFパラメーターを[n,1 ; 0, 1/n]として計算していました。
訂正したところ、v2=nv1+[{(n^2)Zc+Za}/n]*i1
i2=(n/Zb)v1+[{(n^2)Zc+Za+Zb}/nZb]*i1となりました。
この2式に、v1=-Zc*i1を代入するとv2=Za/n, i2=(Za+Zb)/nZbとなり、Z=v2/i2=(Za*Zb)/(Za+Zb)という式が出てきましたが、これらの式はZcの項がないため間違いではないかと思います。
問題文に『1-1'端子に容量Cをつける』とあったのですが、行列式を計算する際、この容量Cは並列枝でなく直列枝と考えて良いのでしょうか。