論理の追い方が・・・

質問

x^2+y^2+z^2=1　(1)
x+y+z=1　(2)
x<y<z　(3)

(1)かつ(2)かつ(3)の下でy+zの取りえる値を答えよ。

という問題で、条件(3)の処理が分かりません。
(1)かつ(2)よりxの存在範囲はでるのですが、(3)の条件
はどのように使えばよいのでしょうか。よろしくお願いします。

回答No.3

mister_moonlight · ベストアンサー

ごめんなさい。x<y<z　‥‥(3)ですから、全て等号は除かれます。

＞従って、Ｄ≧0、f(x)≧0、(1-x)/2≧xであるが、結果は　－1／3≦x≦0‥‥(5)。

これを、下記の様に変更してください。

従って、Ｄ＞0、f(x)＞0、(1-x)/2＞xであるが、結果は　－1／3＜x＜0‥‥(5)。

お礼

ありがとうございました。
確かに解と係数の関係を使ってやると、
x<y<z
の条件がうまく使えますね。
他の方の回答の補足に書いた答案ではどうやって
x<y<zを使うのかちょっと気がかりですが
ありがとうございました。

回答No.4

yoikagari

(2)の式を変形すると
x=1-y-zとなりますね。
これを(1)に代入して計算すると
y^2-y+z^2-z=0
(3)式は
x＜yかつy＜zと同値

x＜yにx=1-y-zを代入して計算すると
2y+z＞1

あとはyz平面を書いて図形的に考えます。
(xy平面のxがy、yがzになったと考えていただければ結構です)

そこにy^2-y+z^2-z=0のグラフ
「これは(y-1/2)^2+(z-1/2)^2=1/2と変形できるので
中心(1/2,1/2)、半径√2/2の円です」
と直線2y+z=1(つまりz=-2y+1)と直線y=zを書き込んで

問題の条件を満たす部分
「(y-1/2)^2+(z-1/2)^2=1/2
z＞-2y+1、z＞y」
を書き込みます。

次にx+y=kと置いてy=-x+kのグラフを書きます。
あとは、kの値を動かして、
「(y-1/2)^2+(z-1/2)^2=1/2
z＞-2y+1、z＞y」と重なるものを探します。

おおよそこんな方針でしょうか。

回答No.2

mister_moonlight

x+y+z=1　(2)より、y+z＝1-x‥‥(4)
(4)を(1)に代入すると、yz＝x＾2-x。
よって、yとzは、f(t)＝t＾2-(1-x)t＋(x＾2-x)＝0の2実解である。
但し、(3)より、2解は共にxより大きい。
従って、Ｄ≧0、f(x)≧0、(1-x)/2≧xであるが、結果は　－1／3≦x≦0‥‥(5)。
後は、(5)の範囲で(4)の値域を考えけれ良い。
(4)はxの1次関数ですから、簡単に出るでしょう。

回答No.1

bandgap

自分で解いてないので直感ですけど…．

xz 平面を書いた場合に，x < z の条件式で領域が絞り込まれますよね．それから式 (1), (2) ともに対称式で x と z の入れ替え可能なので，領域を絞り込む意味もあるんじゃないかと思います．

補足

回答ありがとうございます。
それで、自分もそう思ったのでといてみたんですよ。

(1)かつ(2)かつ(3)を満たすy,zの存在条件を考える。
y^2+z^2=1-x^2 (1)
y+z=1-x　(2)
y<z　(3)
yz平面で考えて、(3)の下で(1)かつ(2)をみたすy,z（実数）が存在する条件は、円(1)が直線(2)と(3)の下で共有点を持つ条件と同値。
ゆえに、～～～計算略～～～
-1/3<x<1 をyzの存在条件として得る。（ｘの値域）
このとき-1<-x<1/3であるから
0<1-x<4/3 (4)
(2)を(4)に代入すればy+zの値域は
0<y+z<4/3 （答）

だと思うのですが、どこか間違っているんでしょうか。
正解は1<y+z<4/3 でした。。。