「円周長／直径＝定数」の説明（証明）は習ったのでしょうか？いまになって

質問

恥ずかしいのですが思い切って。
「円周長／直径＝定数」の証明は習ったのでしょうか？
ふと思いついて気になったのですが説明できません。円の面積の求め方の説明は覚えているのに？
色々悩んで考えてはみましたが、これは解析の基本の１つですからいつごろ、どのような説明だったのでしょうか。

回答No.2

adinat · ベストアンサー

直感的にいうと円周とは1次元のものだから、これまた1次元の直径を2倍にすると、円周も2倍になる、ということです。たとえば1辺の長さが2の正方形の周の長さは、1辺の長さが1の正方形の周の長さの2倍です。あるいは、正方形の周の長さ/正方形の1辺の長さ＝定数＝4といっても同じことです。

もう少し真面目に答えると、円の内接正n角形を考えます。別に外接正n角形でもかまいません。この正n角形の周囲の長さはnを大きくすればするほど円周に近づきます。もし直径の長さを倍にすれば、正n角形の周囲の長さも倍になりますから、ようするに円の直径と内接（あるいは外接）正n角形の周囲の長さは比例関係にあります。したがって円周/直径は定数ということです。

いずれにしも、相似拡大によって、対応する線分長比（あるいは曲線長比）は相似比に等しいし、面積比は相似比の二乗比になるということです。このあたりは初等幾何の基本命題ですね。

お礼

ありがとうございます。
なるほど３角形ですね。よくわかりました。しかし、このような説明がどの時点であったかの記憶が無いのです。ひょっとして、うやむやのまま微積分に突入していたのでしょうか？なにぶん、数十年以上も前のことで。

回答No.4

hanako171

全く同感です。
で、探してみましたら、そういえば高校の２，３年ごろにやったような記憶がよみがえりました。あまり興味がなかったので今の今まですっかり忘れていました。
http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/circle/circle4.htm

参考URL：

http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/circle/circle4.htm

お礼

ありがとうございました。高校でやるのですね。全く、記憶がありませんでした。中学まではうやむやなんですね。このようなサイトは見つけられませんでした（へたなんですね）。

回答No.3

rabbit_cat

すべての円（ユークリッド幾何学では、ある点からの距離が等しい点の集合を円と呼んでいます）が相似だとすれば、＃２の方のとおり、相似の性質から明らかです。

たしか、ユークリッド幾何学のどっかに「すべての円は相似である」という定理があったような気がします。
http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/toc.html
相似の概念がBook6で出てくるのでそれ以降のどっかにあると思うのですが。

お礼

ありがとうございます。
ただ、外国語はだめなので、後で図書館にあった原論を調べようと思います。ただ、相似なのですが、円の場合、曲率が異なるので、微分の概念が必要とか思ったりします。

回答No.1

0KG00

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%86%E5%91%A8%E7%8E%87

いろいろと定義がありますね。証明というか、最初は経験値として求められたものを証明する方法が編み出されたのかと。

お礼

早速、ありがとうございます。
微積分→円周長／直径＝定数ならば、小・中学ではムリですね。確かこの辺で円の面積の説明は習ったのに。このあたりではうやむやだったのでしょうか？