物理学の問題が分かりません。

質問

物理学の問題が分かりません。

ご教授お願いします。

強く引っ張られた弦上を伝わる正弦波
y₁（x,t）=ymsin(kx-ωt)
を考える。
ここにxは弦に沿った方向の位置座標、tは時間、y₁（x,t）はそれらの関数として弦の横方向の変位を表す。

（１）この波の(a)波長λ(b)周期T(c)進行速度vをｋ、ωを用いてかけ。

（２）この減の張力をτ、線密度をμとしたときvをτとμで表せ。

いま、逆方向に進む波y₂(x,t)、y₁(x,t)の干渉により、定在波が弦上に発生した。弦の長さをL、弦の両端は固定されているとして以下の問いに答えよ。

（３）y₂(x,t)の具体的式を書き、y₁(x,t)、y₂(x,t)の重ね合わせが定在波を引き起こすことを示せ。

（４）定在波のkとLの間の関係を求めよ。

回答No.1

Tann3 · ベストアンサー

なかなか回答が付きませんね。
　式が分かりづらいからでしょうか。式を正しく書かないと、『式の「y」「m」は何か？』などと疑問に思ってしまいます。
　おそらく「ym」は正弦波の最大振幅を指す、ということだと思います。掛け算記号の省略と、文字の分け方がわかるように、きちんと書きましょう。きちんと書くと、

　　　y1（x,t）= ym * sin(k*x - ω*t)

ということでしょうか。この前提で回答します。

＞（１）(a)波長λ

　波長は、「1周期（＝角度が 2パイ進む）の波の長さ（ｘの大きさ）」ですから、正弦波の１周期は

　　　y1（x+λ,t）= ym * sin[k*(x+λ) - ω*t) = ym * sin[k*x - ω*t + 2パイ)

から、　λ = 2パイ/k です。（「パイ」は円周率です）

＞（１）(b)周期T

　１周期の間に角度は 2パイ変化しますから、

　　　y1（x,t+T）= ym * sin[k*x - ω*(t+T)] = ym * sin[k*x - ω*t - 2パイ)

から、　T = 2パイ/ω です。

＞（１）(c)進行速度v

　進行速度は、「波長　×　振動数（＝1/周期）」ですから、

　　　v = λ/T = ω/k

＞（２）この減の張力をτ、線密度をμとしたときvをτとμで表せ。

　これは、暗記していないと答えられませんね。

　　　v = √（τ/μ）

＞（３）y2(x,t)の具体的式を書き

　y2(x,t) は、時間とともにy1(x,t) とは逆方向に進む波ということなので、ｔ→(-t)と置換して

　　　y2（x,t）= y1（x,-t）= ym * sin(k*x + ω*t)

　重ね合わせは、

　　　y1（x,t）+ y2（x,t）= ym * sin(k*x - ω*t) + ym * sin(k*x + ω*t)
　　　　　　　　　　　　　= 2 * ym * sin(k*x) * cos(ω*t)

となる。これは、固定した座標（x1）では

　　　y1（x1,t）+ y2（x1,t）= 2 * ym * sin(k*x1) * cos(ω*t)
　　　　　　　　　　　　　= K * cos(ω*t)
　　（ただし、K = 2 * ym * sin(k*x1)）

となり、その座標 x1 で決まる振幅 K = 2 * ym * sin(k*x1) で単振動する定在波となる。

＞（４）定在波のkとLの間の関係を求めよ

　定在波では、弦の長さ L は1/2波長 λ/2 の整数倍となるから、任意の整数を n として

　　　　L = n * λ/2 = n * (2パイ * k )/2 = n * パイ * k

　定在波については、こんなサイトをご参照ください。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%9A%E5%B8%B8%E6%B3%A2
http://homepage2.nifty.com/hotei/room/chpt02/002.htm