誤差伝播について

質問

q=x/y　のときには
誤差伝播は
δq=q*((δx/x)^2+(δy/y)^2)
と考えるのがいいのか、
qをx、yでそれぞれ偏微分したもの
δq=√(((1/y)*δx)^2+((-x/y^2)*δy)^2)
で考えるのがいいのですか？

回答No.3

rabbit_cat

私の早とちりでした。

よく見ると、
δq=q*√((δx/x)^2+(δy/y)^2)
と、
δq=√(((1/y)*δx)^2+((-x/y^2)*δy)^2)
は、全く同じ式ですね。

回答No.2

stomachman

q = x/y
xに誤差 dx、yに誤差dyがあって、|dy|<<|y|であるとする。
qの誤差をdqとすると、
q+dq = (x+dx)/(y+dy)
=q (1+dx/x)/(1+dy/y)
≒q(1+dx/x)(1-dy/y)
=q (1+dx/x-dy/y-dydx/(xy))
≒q (1+dx/x-dy/y)
だから
dq ≒q(dx/x-dy/y)
つまり、右辺第二因子が相対誤差の和の形になります。（ほとんど意味が無いなんて言われても、そうなっちゃうんだから困りますよね。）
x,yの誤差が独立で、それぞれ平均が0で、dxの分散を(σx)^2, dyの分散を(σy)^2, dqの分散を(σq)^2とするとき、
(σq)^2≒(q^2)(((σx)/x)^2+((σy)/y)^2) -- (1)
となる。

ところが偏微分を使って、
q+dq ≒　q+(∂q/∂x)dx +( ∂q/∂y)dy
と展開してみると、
dq ≒(∂q/∂x)dx +( ∂q/∂y)dy
ここで
∂q/∂x= 1/y
∂q/∂y= -x/(y^2)
を入れれば、
(σq)^2≒((σx)/y)^2+((σy)x/(y^2))^2 --(2)
ってことになりそうだ。さあどっちだろ、というのがご質問でしょう。

答は簡単です。(1)にq=x/yを代入すると、どっちもおんなじであることが分かりますよ。

回答No.1

rabbit_cat

当然、後者です。

前者（√が抜けてるんだろうと思いますが）は、
いまいち意味がつかみづらいですが、これはなんでしょう。
q=1/2(log(xy))^2 ？？
相対誤差を足すというのは、物理的にはほとんど意味がないような。。