水の粘性係数の測定 誤差の伝播について

質問

水の粘性係数の測定の実験で式η＝(πρgha^(4)t)/(8Vl)
で与えられる。誤差の伝播を表す式を求めよ。
という問題なのですが、題意からよくわかりません。

お手数をおかけしますが解き方、もしくは回答のほうよろしくお願いします。

回答No.5

Tann3

No.1&2です。No.1の「お礼」に書かれたことについて。

＞表式というものはどうすればいいのでしょうか？

　「表式」って、お示しの実験式に対する誤差の式のことですか？

　どの変数が測定値で、かつ、その測定値ごとの誤差が分からないと式は書けません。
　下記の手順で計算してください。

（１）まず、各測定値について、「平均」（あるいは最も確からしい数値）とか「標準偏差」とか、測定器の公称精度だとか、「誤差はいくつと評価されるか」を明確にしてください。個別の「誤差」の数値が存在することが前提条件です。
　これが出発点なので、これがないと、「伝播」を計算できません。「伝播」はあくまで「どう伝わるか」なので、元の「誤差」が明確でない限り、そこから先には進みません。

（２）上記（1）が明確になった上で、各々の誤差に対し、全体の誤差を計算します。与えられた式がすべての測定値の「かけ算、割り算」ですので、下記のサイトを参考に、かけ算と割り算で構成される場合を参考に、伝播式を求めて、それに数値を代入してください。
　「誤差」をかける相手（Mの組合せの式）が、元の式を「偏微分」したものに相当します。（No.3さんの書かれている「全微分」は、個別に偏微分したものの加算という意味で、この「偏微分」に相当するものかと思います）
　算出方法の式も載っていますので、そのものズバリの式がなくとも、与えられた式に当てはめて応用してください。
http://www.tagen.tohoku.ac.jp/labo/ishijima/gosa-03.html

お礼

回答ありがとうございました。お礼が遅くなり申し訳ないです。
これからもよろしくお願いします。

回答No.4

noname#221368

#3です。

＞ということは各々の値を全微分すれば表式が導けるのでしょうか？

　全微分の意味をわかってますか？。

＞できればこの場合の表式を・・・

　やってもいいですけど、ηの表式のパラメータをちゃんと説明して下さい。

　例えばha^(4)は、haが一つのパラメータを表しha^(4)＝(ha)^(4)なのか？、それともh・a^(4)なのか？。分母もVIで一つのパラメータなのか？、V・Iなのか？・・・など。

お礼

回答ありがとうございました。お礼が遅くなり申し訳ないです。
これからもよろしくお願いします。

回答No.3

noname#221368

もっとも単純に考えると、測定値によって得られるパラメータで、与式を全微分すれば良いはずです。

　例えばπ，ρ，g（円周率，流体密度，重力定数）は既知の値（誤差ほとんどなし）を用い、面倒なので目的変数βが、

　　β＝πρg・h・a^4

で与えられるとします。計測値hとaの誤差によるβのずれは、

　　dβ＝πρg(a^4・dh＋4h・a^3・da)　　　(1)

となります。ここでdh，daは計測値hとaに含まれる誤差、dβはそれらに起因するβのずれ（誤差）です。

　もちろん(1)は、hもaもほとんど真値に近く、誤差dhとdaは、hとaの数値オーダーに対して十分小さいと考えられる時に適用可能な式です。

　でもその厳密な判断は事実上不可能なので、十分気を付けて測定を行ったはずだ、という仮定のもとに(1)を使用するしかありません。

　もしくは、hとaで表されて値のわかっている別の目的変数γに対して、βの時と同じ実験条件でhとaを測定して計算結果とγの公称値を比較し、hとaの精度十分の根拠にしたりします（測定のキャリブレーション）。

お礼

回答ありがとうございました。
お手数ですが補足のほうよろしくお願いします。

補足

ということは各々の値を全微分すれば表式が導けるのでしょうか？

できればこの場合の表式を教えてください。

お願いします。

回答No.2

Tann3

No.1です。

　すみません、漢字変換ミスがありました。

　「誤差の伝搬」→「誤差の伝播」

です。（質問者さんのタイトルが正しい）

お礼

回答ありがとうございました。お礼が遅くなり申し訳ないです。
これからもよろしくお願いします。

回答No.1

Tann3

「誤差の伝搬」というと、「何のこっちゃ？」という感じですが、例えばご質問の計算式

　　　　η＝(πρgha^(4)t)/(8Vl)　　（１）

のうち、実験で得られた個別の数値（＝計測値、たとえば、h、a ）には、実験や計測に伴う誤差を含みます。（私は流体力学に詳しくなので分かりませんが、V、I といったものもそうですか？）
　一方、定数として使う数値（たとえば、円周率、密度、重力加速度など）は、適切な有効数字をとれば「誤差なし」として扱えます。

　そういった数値を用いて、例えば（１）式のような数式で結果となる物理量を求めるときに、個々の計測値が持つ誤差が、最終的な物理量（ここでは　η）にどう影響するか（伝わるか）が「誤差の伝搬」ということです。

　大きく影響するものと、ほとんど影響しないものがあるわけで、実験結果の誤差を最小にするには、どれを精密に測定しないといけないか、といったことも分かります。
　数式の形態は、（１）の場合には乗除算だけですが、一般には四則演算を組合せたものになります。複雑な関数（三角関数や対数、指数など）を含むこともあります。どういった計算式だと、誤差が計算結果どう伝わるか、ということを評価するのです。

　これは、けっこう奥が深い議論で、単なる「テクニック」としてではなく、本質的な理解をしておくことが重要です。この際。（１）のような乗除算だけでなく、全体を概観しておいた方がよいと思いますので、参考となるリンク先を紹介しますので、ご自分で勉強してみてください。書籍もいろいろ出ていると思います。
http://www.nagaoka-ct.ac.jp/~araki/s/denpa.html
http://www.tagen.tohoku.ac.jp/labo/ishijima/gosa-02.html

お礼

回答ありがとうございました。

URLも参考にさせていただきます。

表式というものはどうすればいいのでしょうか？

よろしくお願いします