ベクトル（センター試験の模試）

質問

k を実数の定数とする。三角形 ABC と同じ平面上にある点 P が

AP ベクトル = (5/11+k) AB ベクトル + (6/11+k) AC ベクトル

を満たしているとする。点 P が図の斜線部分（境界を除く）にあるための k の範囲を求めよ。

図は、A を紙面の一番上に書き、三角形 ABC に A から AB と AC を延長する直線が続き、延長した直線と BC に囲まれた（開いている部分もあります）部分が斜線になっています。三角形 ABC を含まない部分です。
わかるでしょうか。

こういう問題なのですが、P が BC をはさんで A と反対側の部分にあるとき、
(5/11+k)+(6/11+k)>1 となりますよね。説明が足りないかもしれませんが…。これで直線（線分ではないですよね）BC より下側に範囲を狭めることができたと思いました。

解答では、それに加えて、点 P が直線 AB より右側にある → (6/11+k)>0…(1)
AC より左側にある → (5/11+k)>0…(2)
としています。これがなんだかわかりません。

(1)(2)のとき、P が BC 側にあり、A をはさんで BC と反対側にない、ということを示しているとは思ったのですが…。

どのように考えたら、図の部分を表せると考えられるでしょうか。解答ではわからなかったので、教えて下さい。

回答No.1

oyaoya65 · ベストアンサー

簡単のため次のようにおきます。
AP→ = s AB→ + t AC→　■

ここで「AP→」と「→」でベクトルを表し、s,tを定数とします。

直線AB（線分ABとその延長を含む）と直線AC（線分ACとその延長を含む）を引くとA点を中心として、三角形ABCのある平面を4つの領域に分けることができますね。

それぞれの領域が次の4つの場合のどれかになりますが
お分かりになりますでしょうか？

■の式の右辺の第1項と第2項を別々のベクトルと考えると良いですね。別々に考えた時の各項のベクトルを平行四辺形の形のベクトル合成すれば、合成ベクトルの頂点が４つの領域のどこに入るか分かるでしょう。

１）s＞0,t＞0の場合点Pはどこに行きますか？
２）s＞0,t＜0の場合点Pはどこに行きますか？
３）s＜0,t＞0の場合点Pはどこに行きますか？
４）s＜0,t＜0の場合点Pはどこに行きますか？

これがお分かりになれば
今回の質問の領域は１）の属することがお分かりになるかと思います。２）～４）の領域は、対象領域ではありませんね。

勿論、s,tはそれぞれ、(5/11+k) AB と (6/11+k) に対応することは言うまでもありません。

お礼

丁寧な回答をしてくださってありがとうございます。私、解答にあった「点 P が直線 AB より右側にある → t>0…(1) 」というのを s>0 と読み違えたんだと思えてきました。「右側にある」なんていう表現、初めてだったので、混乱してしまったようです。確かに右側にあることが認識できてきました。もうちょっと考えてみます。
わかりにくい質問を読んで答えてくださってありがとうございました。

補足

理解できましたので締め切ります。お世話になりました。