位相空間における点の移動
自由度f=1のqp位相空間に初期条件の異なる4つのトラジェクトリー(軌跡)が与えられ、4点A,B,C,Dは時刻tにおける4つのトラジェクトリーそれぞれの代表点とする。
ここでA(q,p), B(q+dp,p), C(q+dq,p+dp), D(q,p+dp)と定め、四角形ABCDは微小な長方形であるものとする。次に時刻がtからt+Δtに変化したとき、4点A,B,C,Dは別の4点A',B',C',D'に移動したものとすると、四角形A'B'C'D'は微小な平行四辺形になる。
この時の4点それぞれの移動を考える。
A'(q'p')とおくと、座標q',p'はA(q,p)が移動したものだから、それぞれqとpの関数q'(q,p),p'(q,p)となる。A(q,p)→A'(q'(q,p),p'(q,p))となる。
BからB'の移動も同様に考えると、
B(q+dq,p)→B'(q'(q+dq,p),p'(q+dq,p))=B'(q'(q,p)+(∂q'/∂q)*dq, p'(q,p)+(∂p'/∂q)*dq)
CからC'の移動は、
C(q+dq,p+dp)→C'(q'(q+dq,p+dp),p'(q+dq,p+dp))=C'(q'(q,p)+(∂q'/∂q)*dq+(∂q'/∂p)*dp, p'(q,p)+(∂p'/∂q)*dq+(∂p'/∂p)*dp)
DからD'の移動は、
D(q,p+dp)→D'(q'(q,p+dp),p'(q,p+dp))=D'(q'(q,p)+(∂q'/∂p)*dp, p'(q,p)+(∂p'/∂p)*dp)となる。
※質問です。まず、『A'(q'p')とおくと、座標q',p'はA(q,p)が移動したものだから、それぞれqとpの関数q'(q,p),p'(q,p)となる』とありますが、なぜq'とp'がどちらもpとqの2変数関数で表せるのか分かりません。Aの座標を(q,p)とおくので、これをどこにとるかによってA'の座標(q',p')も変化するのは分かりますが、その場合座標q'の値はqのみでなくpにも依存するのでしょうか、またp'の値はpだけでなくqにも依存するのでしょうか？何かもし具体例があれば、教えてください。
次にBの移動についてですが、なぜB'の座標がq'(q+dq,p),p'(q+dq,p)で表せるのか、そしてそのあとB'(q'(q+dq,p),p'(q+dq,p))=B'(q'(q,p)+(∂q'/∂q)*dq, p'(q,p)+(∂p'/∂q)*dq)となっていますが、一体どのように考えればこの右辺の式が導けるのか教えていただければと思います。
C,Dの移動についても同様の質問です。
お礼
ああ～私はやっぱり数学だめ！そのとうりですよね。