曲げモーメント！

質問

一般的な曲げモーメントの微分方程式は
M=-EI(d^2y/dx^2)
ですが、上式が導けません。
材力は苦手なので、出来るだけ詳しく
教えていただけませんか。お願いします。

回答No.2

k_riv · ベストアンサー

取り敢えず，説明してみます。

梁（左端A-右端B)に任意の荷重を載荷すると，梁は下方にたわみます。この時，曲率中心（Ｏ点)から，撓んだ梁の中立軸までの距離を曲率半径（ρ）とします。

左端A点から任意の距離（ｘ）のたわみは（ｙ）になると仮定し，たわみ後の梁の中立軸上の点をCとします。ここで，点Cから微小距離（dx）離れた位置（x+dx)では，微小たわみが生じ，たわみの合計は(y+dy)となり，この点をD点とします。

この時のたわみ角(θ）は，tanθ＝dy/dxですが，θが微小であれば，
θ＝dy/dx　　　・・・(1)
で近似することが出来ます。

また，点Cから点Dまでの距離は，ds＝√（dx^2＋dy^2)になります。ここで，角CODを（dθ）とすれば，三角形CODは(ds)を底辺，曲率半径を(ρ）等辺とする２等辺三角形になるので，（ds)は，ds=ρ・dθになります。ここで，ds≒dxと考えれば，dx=ρ・dθ即ち，
1/ρ=dθ/dx　　・・・(2)
で表すことが出来ます。(2)式のθに(1)式を代入して，
1/ρ=(d/dx)・(dy/dx)＝d^2y/dx^2　・・・(3)
を得ることが出来ます。

一方，フックの法則（σ＝E・ε）において，ひずみ（ε）は，変形量/元の長さ＝たわみ/曲率半径，ですので，
σ＝E・y/ρ　・・・(4)
です。ここで，梁のC点の断面に生じる力(Δf)は，応力(σ）に微小面積（ΔA)を乗じたもの，曲げモーメント（M)は力（Δf)に距離（ｙ）を乗じ，全面積について合計したもの，つまり積分したものですので，
M=∫σyΔA　・・・(5)
です。ここで，(5)式の(σ)に(4)式を代入すれば，
M=∫Eｙ/ρ・yΔA　・・・(6)
を得ます。式(6)で，E/ρをインテグラルの前に出して，
M=E/ρ・∫y^2・ΔA
となりますが，ついでに，インテグラル以降の式は，断面２次モーメント(I)の事ですので，
M=EI/ρ　・・・(7)
と書くことが出来ます。変形して，
1/ρ＝M/EI　・・・(8)
を得ます。

式(3)と式(8)によって，
1/ρ=d^2y/dx^2=M/EI　
変形して，また，曲げモーメントの方向を考慮して，負符号を追加して，
EI（d^2y/dx^2）＝-M
となります。

下手な説明で申し訳ないですが，この程度で如何でしょうか。

回答No.1

N64

材料力学か、構造力学の本に、載っていると思います。
本屋さんで、探して、ご自身に最もよく合った本を、
お読みになることを、お勧めします。
とても、ここに書けるような量ではありません。