数列・・・。（高２）

質問

次の数列の第ｋ項を求めよ。
1・(2ｎ－1)、3・(2ｎ－3)、5(2ｎ－5)・・・、(2ｎ－3)・3、(2ｎ－1)・1

という問題で、
答は(2k-1)(2n-2k+1)と分かっているのですが、どうしてこのような答になるのでしょうか。
等差数列と等比数列の知識のみで解けるはずですが分かりません。解説お願いします。

回答No.5

debut · ベストアンサー

＞最後の２項はどのように考えればよいのでしょうか。

この数列の最後の項は前から数えてｎ番目ですから、

各項の左側が「初項１公差２の等差数列」なので、ｎ番目は１＋(ｎ－１)×２で２ｎ－１、
各項の右側が「初項２ｎ－１公差－１の等差数列」なので、ｎ番目は２ｎ－１＋(ｎ－１)×(－２)
で１となります。
それで、最後の項は　(２ｎ－１)・１　となっているのです。

また、その前の項は前から数えてｎ－１番目ですから、同様に考えれば(２ｎ－３)・３
となります。

お礼

回答ありがとうございました。
最後の２項についても納得できました。

回答No.4

g_002

＞最後の２項はどのように考えればよいのでしょうか。

奇数は２ｎ－１で表せます。
よって一番最後の項は常に２ｎ－１です。最後から２番目は？最後の項の２ｎ－１より２小さいはずです。
何故ならば、１，３，５・・・みてみると、右側の数より左側の数の方が２小さいです。従って最後から２番目は、
（２ｎ－１）－２すなわち２ｎ－３となります。

お礼

回答ありがとうございました。
最後の２項についても納得できました。

回答No.3

v165v

こんばんわ。
説明下手かもしれませんが、少しでもお役に立てたら…と思います。

1・(2ｎ－1)、3・(2ｎ－3)、5(2ｎ－5)…、(2ｎ－3)・3、(2ｎ－1)・1

まずこれを<例>1と(2ｎ－1)のように分けて考えると
<例>の1のところは
1・3・5…　となってますよね!?
これは初項が１、公差が２の等差数列になってるというのはわかりますか？
この一般項は等差数列の一般項の公式a-(n-1)dより ※a=初項,d=公差
『2k-1』になります。…(1)

次に(2n-1),(2n-3),(2n-5)…　を考えます。
これは(2n-●)この●のところが変わってます。
●のところはさきほど求めた『2k-1』と同じなので、
この一般項は{2n-(2k-1)}=(2n-2k+1)になります。…(2)

そして元の式は(1)と(2)の掛け算なので、
(2k-1)(2n-2k+1)になります。

わかりましたか？？？なんか説明下手ですみません。

お礼

丁寧な説明、ありがとうございました。
分かりやすかったです！

回答No.2

g_002

まず各項をよく見てみましょう。
第１項めは1・(2ｎ－1)、第２項めは3・(2ｎ－3)，・・・
ということは、「奇数・(2ｎ－奇数)」という形になってますよね？奇数は２ｎ－１で表せますよね？ここまではいいですか？ｎに項の番号つまり１，２，３を代入していくと、１，３，５・・・となりますよね？
よって第ｋ項は、２ｋ－１となります。
次にカッコの中ですが、２ｎは何項目であっても同じで、
マイナスの後の数字は先ほどと同じ数字です。従って第ｋ項目は、（２ｋ－１）・（２ｎ－（２ｋ－１））
ゆえに、（２ｋ－１）・（２ｎ－２ｋ＋１）
とまります。

お礼

遅くなりましたが、回答ありがとうございました。

回答No.1

math_road

まず、左側を考えます。
第一項：１、第二項：３、第三項：５……、
となっており、奇数ですね、そこで第k項はどうなるかを考えると、
奇数は2k-1と表せるので、これで左側は決定です。

次に右側を考えます。
第一項：(2n-1)、第二項：(2n-3)、第三項：(2n-5)……、
となっており、これは左側の延長ですね、
2nから-1、-3、-5……、となっているので2n-(2k-1)と表せます。

よって一般項は(2k-1)(2n-2k+1)になります。

お礼

早速の回答ありがとうございます。
この考え方で最初の３項は納得できるのですが、
最後の２項はどのように考えればよいのでしょうか。
私の勉強不足だと思うのですが、後の２項についても説明していただけないでしょうか。