オイラーのπの無限和展開

質問

物の本によると、
　オイラーは、πの２乗の６分の１が、
１＋1/4＋1/9＋1/16＋・・・となることをかなり無謀な分析で見つけたと有りますが、全くランダムに出現するπの数の並びから、このような規則正しい数列の和になることなど、いくら無謀に分析しても見つけることは難しいと思われるのですが、このオイラーの無謀な分析をもう少し詳しく知りたいと思い、質問しました。どんな分析からこのような無限和を見いだしたのでしょう。

回答No.2

oyaoya65 · ベストアンサー

＞オイラーは、πの２乗の６分の１が、
１＋1/4＋1/9＋1/16＋・・・となることをかなり無謀な分析で見つけたと有りますが、

次のオイラーが1735年に見つけた方法は次のURLの2.2節に定理として掲載されています（p9～）。

http://www2.saganet.ne.jp/westmt/euler_chap3_e/chap3.pdf

＞無謀な分析で見つけた
この無謀とは有限項多項式で成り立つことは証明なしで無限多項式ついても成り立つとして拡張して適用したことを指しているようですね。

お礼

ありがとうございました。よく分かりました。

回答No.1

tatsumi01

オイラーの方法は知りませんが、和算では多くの公式を理論ではなく数値計算から目視で求めています（和算でこの公式を発見したかどうかは知りません）。
１＋1/4＋1/9＋1/16＋・・・を最初の１０項程度計算し、πの２乗に関係があると閃く人もいると思います。もちろん、πの２乗は見慣れていて暗記しています。和算家にはそのように勘のいい人がいたようです。

お礼

やはり数感を研ぎ澄ますことが大切なんですね。