高校レベルの整数問題です

質問

正の整数mを10進法で表したときの各桁の数の2乗の和をf(m)とする。
(1)mの桁数が4以上なら、f(m)の桁数はmの桁数より小さいことを示せ。
(2)数列a(n)をa(1)=m,a(n+1)=f(a(n))と定める。数列a(n)はある項以降は同じ数の並びの繰り返しとなることを示せ。

この問題ですがどこから手をつければいいのかさっぱりわかりません。
どなたか教えていただけないでしょうか

回答No.2

killer_7

> これは帰納法によってｎ≧４もしめされるということですか？
(1)の証明を書く手段として数学的帰納法を紹介しましたが，(2)には関係ありません．
(1)の結果から，
「1000以上のmからはじめても，いずれa_nの項は3桁になる」から，
はじめから1000未満のmについてのみ考えればよいということ．

> この部分がよくわからないです。
どこがわかって，どこが分からないのかを書いていただかないと回答のしようがありませんね．とりあえず構造は以下の通り．
(1)m < 1000ならば f(m) ≦324より，「m < 1000ならば，f(m) < 1000」である．
(2)したがって，m < 1000ならば，つねに a_n < 1000 である．
(3)このとき，a_nが1000項つづけて違う数字になることはない，
言い換えれば，1000項目までに，同じ数字が2度あらわれる．

回答No.1

killer_7

(1)はかなり明らかでしょう．
mがn桁のとき，f(m)が最大になるのは9がn個ならぶとき．
mが4桁のとき，f(m) ≦ f(9999) = 4*9^2 = 324 < 1000
だから，まず4桁ではO.K.
5桁以上でも成り立つことは，直感的には明らかですが，
右辺（上の場合の1000）が10倍になるのに対して，
左辺（上の場合だと243）は10倍にはなれないなどとして示せるでしょう
（つまり，「mがn桁のとき，f(m) ≦ n*9^2 < 10^(n-1)」がn≧4で成り立つことを数学的帰納法などで言えばよい）．

(2)は，
(1)から，m < 1000の場合に題意が成り立つことを示せば十分
（なぜ十分かを考えてください）．
m < 1000のとき，f(m) ≦ 324 であり，{a_n}のどの項も1000を超えない．
したがって，1000項目までに必ずa_i = a_jとなるi,j(j>i)があり，
このとき，第j項目の以降は，第i項から第j項までの繰り返しになる．

補足

回答ありがとうございます。（１）は理解できました！
（２）なんですが・・・
＞＞(1)から，m < 1000の場合に題意が成り立つことを示せば十分
（なぜ十分かを考えてください）
これは帰納法によってｎ≧４もしめされるということですか？
＞＞m < 1000のとき，f(m) ≦ 324 であり，{a_n}のどの項も1000を超えない．
したがって，1000項目までに必ずa_i = a_jとなるi,j(j>i)があり，
このとき，第j項目の以降は，第i項から第j項までの繰り返しになる

この部分がよくわからないです。折角回答いただいたのですがもうすこし解説お願いできないでしょうか？