オイラー数について

質問

自然数ｎに対して、
｛(z,w)εC^2｜ｚ(3乗）=w(3n乗) +1}
に無限遠点を３点加えた曲面をΣとする。
このΣのオイラー数はいくらですか？
また、このΣはどんな曲面ですか？教えてください。

回答No.1

kabaokaba · ベストアンサー

前の質問と三箇所かわったかな・・・
こういうレベルのものは
素直に大学で先生に聞くべきだと思う．
講義の流れによっては計算方法がまるで違う．
そもそもarithmetic genusとgeometric genusの違いとか
divisorとかcohomologyとかが絡んでる話（つまりは
小平-SpencerとかRiemann-Rochの関係）かもしれないし，
resolution of singularities方面のblowing upの話の
流れかもしれないし。。。。そもそも
こういう方面の話じゃなくって，
もっとtopologicな話なのかもしれないし．

まあ，resolution of singularities+blowing upの方面で
いってみよー
z^3 = w^{3n}+1
ということなら，これは非特異な複素代数曲線なんだから
genus g = (d-1)(d-2)/2 （dは定義多項式の次数）
であって，オイラー数 χ=2-2g だから
すぐ計算できるでしょう？

この曲線（複素の話なんだから曲面は不適だろう）の
形についてはいろいろ手があるけど
genusがわかるんだから，それでよいとすることも可能．
具体的な形が知りたいのであれば，
C^2ではなくて，R^2だと思って，普通に
z^3 = w^{3n} + 1
のグラフを描けばいい．

これが，前の質問のように
z^3=w^3n+1
だったら
z^3 = w^{3n+1}
だったかもしれないわけで
こうなると，gの計算は少し厄介になる．
g = (d-1)(d-2)/2 + Σr(r-1)
Σは曲線のすべての特異点での和
rは各特異点でのramification indexとなる．
特異点は原点と∞だけどramification indexは
たぶん両方とも3のはず．
これで計算できるとおもう．

この曲線の形だったら，特異点の近傍での
十分小さい半径のS^3との共通部分を
考えれば，knotとして表現できるから
そっち方面からの考察ができるでしょう．
Seifert surfaceとかいろいろあるからそれでがんばればいい．
Milnor numberとかいろいろ指標はあるので
適当に資料をあたってくださいな．

回答No.2

wloop

複素曲線：z^3 = w^(3n)+1はn=1の場合は
#1さんがいわれてるとおり特異点を持ちませんが
nが１よりも大きい場合は無限遠に特異点を持ちます。

オイラー数χの計算についてはいろいろやり方はあると
思いますが簡単に評価する方法は
「数学への旅 ２ 数論とトポロジー」山下純一　現代数学社
に載っています。よろしければ図書館等でみてみてください。
結果はχ＝－６・ｎ＋６
（χ＝２－２・ｇより種数ｇ＝３・ｎ－２）となります。
曲面の形はｇ個穴が空いた浮輪の形です。
(ｎ＝１の場合はｇ＝１でトーラス)

ちなみに複素曲線：z^3 = w^(3n+1)の場合は
#1さんがいわれてるとおり原点と無限遠に特異点を持ち
χ＝２（曲面の形は球面）となります。
これについても上記の本に簡単に説明があります。