closed under inverses

質問

半群に関する用語について質問です．

　半群Sにおいて，Sの任意の元sに対してs^-1∈S のとき，Sは closed under inverses であると言いますが，この「closed under inverses」は日本語では何と訳されるのでしょうか．

回答No.3

adinat · ベストアンサー

半群Sにどの元とも異なるeなる元を加え、e・e=e、任意のx∈Sに対して、x・e=e・x=xと約束したものを単位半群（モノイド）と呼びます。上で新しく付け加えたeなる元は、単位元と呼びますが、単位元の性質を知って、初めて逆元というものが定義されます。

すなわちy∈Sがx∈Sの逆元であるとは、任意のz∈Sに対して、z・e=e・z=zを満たすような"Sの元"eが存在して、y・x=x・y=eを満たすときをいいます。

さて、もしあなたのおっしゃるように、逆元は存在するのに単位元が存在しないような対象があったとしましょう。そうするとx・x^(-1)=eはもはやその対象の元ではなくなってしまいます。つまり積についてすら閉じていないわけです。そのような対象はすでに半群ではありません。ですから、逆元の議論をする場合は、初めから単位元を含む半群、すなわち単位半群（モノイド）についてだけ考えるのです。

回答No.2

rabbit_cat

「逆元に関して閉じている」
でいいと思います。

半群の元について逆元が定義できるってことは、
当然、単位元があるわけで、
しかも、逆元がすべてＳに含まれるのであれば、
Ｓは群になりますね。

補足

逆元が定義できることから直ちにSが単位元を含むといえるのでしょうか．

　任意の要素x に対して「xe=ex=x を満たすe はどんなものか」を考えて，「xx^(-1)=x^(-1)x=e となるx^(-1) をx の逆元とする」と，Sが必ず単位元を含むとはいえないのではないでしょうか(例えば，{2, 0.5, -0.5, -2}なる積に関する半群)．

　半群に含まれないもの(ここではe )との演算を考えること自体ナンセンスなのでしょうか．すなわち，上の二段落目に書いたe や逆元の定義自体意味をなさないのでしょうか．

回答No.1

bo-suke

確かではありませんが、群論ですよね？
だとしたら、closedが演算が閉じてるってことで、
under inversesはinverseが逆(多分「逆元」)ってことですから、
逆元もSに含まれると言う意味じゃないでしょうか?
でも半群は逆元含まなくてもいいので、ちょっと自信ないですけど。
その辺は文脈から考えてください。
ちなみに単位元が存在して逆元を持つ元のみでその半群が構成されるとき、Sは群と呼びます。一応ご存知かもしれませんが言っておきますね。