Lagrangianを使った問題

質問

【問題】
max U(x)=ΣAj*ln(xj - aj) subject to Σpi*xi=m

j=1...n
i=1...n
ajとAjは正の定数でΣAj=1とします。
また、R=m-Σaj*pj>0 というRがあるとします。
(1)最適なx=aj+R*Aj/pj となることを示せ
(2)最適なU(p,m)=u(x) は２次的な効用関数を表す。Roy's identityを証明せよ。

とあるのですが、Lagrangian を使って解くのかなということは
想像がつくのですが、Σが入ってくるとどのように
解いたらよいのか想像がつきません。

基本的なことなのかもしれませんが。。。

お手数をおかけいたしますが、よろしくお願いします。

回答No.1

at9_am · ベストアンサー

全部解答するとルール違反なので概略だけ。

難しく考えすぎだと思います。Σは単に足し算なので、n=2 として
max U(x)=A1*ln(x1 - a1) + A2*ln(x2 - a2) subject to p1*x1+p2*x2=m
とでも考えればよいと思います。

内点解を仮定すれば、
L = U(x) + λ(m - Σpi xi)
とおいてxとλで微分して０と置けば最適解が求められ、直ちに
1/λ = (xi-ai) pi/Ai
から1/λ= Rとおけば
xi = ai + R Ai/pi
が求められます。

同様に解けば Roy's Identity も導出できます。

お礼

>at9_amさん

どうもありがとうございます！！！
回答の通りやってみたら解けました。
Roy's identity の方もＯＫでした。
助かりました。
どうもありがとうございます。！！！