平面ベクトル問題

質問

こんばんわ。受験数学の問題なのですが宜しくお願い致します。

[問]
OA=3、OB=2、∠AOB=60°の△OABがある。辺ABをm:(1-m)の比に内分する点をC、頂点Bから辺OAに下ろした垂線の足をH、OCとBHの交点をPとする。
(→OA)=(→a)、(→OB)=(→b)と置く時、次問に答えよ。(但し、0<m<1)
(1)
内積(→a)・(→b)の値を求めよ。
(2)　(ア)
(→OH)を(→a)で表せ。
(イ)
(→OP)を(→a)、(→b)を使って表せ。
(3)
△OAPが∠OPA=90°の直角三角形になる時、定数mの値を求めよ。
[(1)の解]
(→a)・(→b)=3
[(ア)の解]
(→OH)=1/3(→a)
[(イ)の解]
OP：CP=α：1-α
BP：HP=β：1-β
とする時、
(→OP)=α(1-m)(→a)+mα(→b)
(→OP)=(1-β)/3(→a)+β(→b)
と二通りに表せる事により一時独立から
α=1/(3-2m)
β=m/(3-2m)
と求まり、
(→OP)=(1-m)/(3-2m)(→a)+m/(3-2m)(→b)
[(3)の解]
∠OPA=90°より
0=(→OP)・(→PA)=(→OP)・((→OA)-(→OP))
=9(1-m)*(3-2*m)+3*m*(3-2*m)-9*(1-m)^2-4*m^2-6*(1-m)*m
(∵(→a)^2=9、(→a)・(→b)=3、(→b)^2=4)
よって両辺に(3-2m)^2を掛けて整理して
-3m^2+3m+18=0
∴m=3/26±3/26√105
とどうしてもなってしまうのですが
0<m<1に収まりません。
やり方を間違っているのでしょうか?

回答No.4

kazaguruma87 · ベストアンサー

計算ミスですね。ためしにｍ＾２の項だけ計算してみると良いですよ。係数は５になります。回答はＮＯ．１さんのもので正しいでしょう。
試験でミスを減らすためにはなるべく計算量を減らす工夫をします。今回

　=(→OP)・(→PA)=(→OP)・((→OA)-(→OP))
=9(1-m)*(3-2*m)+3*m*(3-2*m)-9*(1-m)^2-4*m^2-6*(1-m)*m

とされましたが、もう少し粘って先に(→OA)-(→OP)を計算すればもっと展開が楽になりますし、ミスも減らせますよ。センター試験では前の回答が次の問題に使うので、間違えると後の問題で解答欄に合わなかったり、解答に詰まってしまって考え込んでいるうちに試験時間が終わってしまうということがあるので気をつけてください。
合格がんばってください。

お礼

お陰さまで上手くきました。

どうもありがとうございました。

補足

expand(9*(1-m)*(3-2*m)+3*m*(3-2*m)-9*(1-m)^2-4*m^2-6*(1-m)*m);
で
18-24*m+5*m^2
と上手くいきました。
9と(1-m)の間に「*」が抜けておりました。

回答No.3

debut

＞Mapleで計算してみたのですが

これを使ったことがないので全くわかりませんが、出てきた計算結果を手計算の答えと比べて

みると、第２番目部分の「3*m*(3-2*m)」がちょうど４倍されています。

なぜかは全くわかりません。定数項が18で合っていることから、２，４，５番目の部分が

あやしいようですが・・　新たにMapleのことを質問した方がいいかもです。

お礼

お陰さまで上手くきました。

どうもありがとうございました。

回答No.2

debut

下から８行目の式で、全体に /(3-2m)^2が抜けていることは置いておくとして、

＞=9(1-m)*(3-2*m)+3*m*(3-2*m)-9*(1-m)^2-4*m^2-6*(1-m)*m

　は合ってます。これを計算すると　5m^2-24m+18　になります。だから、展開している

　ときに計算間違いをしたんだと思います。慎重に計算しましょう。

お礼

お陰さまで上手くきました。

どうもありがとうございました。

補足

> ときに計算間違いをしたんだと思います。慎重に計算しましょう。
Mapleで計算してみたのですが
expand(9(1-m)*(3-2*m)+3*m*(3-2*m)-9*(1-m)^2-4*m^2-6*(1-m)*m);
18+3*m-13*m^2
となってしまいます。
使い方を間違ってますかね???

回答No.1

postro

＞OP：CP=α：1-α
＞BP：HP=β：1-β
＞とする時、
＞(→OP)=α(1-m)(→a)+mα(→b)
＞(→OP)=(1-β)/3(→a)+β(→b)
＞と二通りに表せる事により一時独立から
＞α=1/(3-2m)
＞β=m/(3-2m)
＞と求まり、
＞(→OP)=(1-m)/(3-2m)(→a)+m/(3-2m)(→b)
これを以下のように修正
（途中が違うが、なぜか最終行はあっている）
OP：CP=α：1-α
BP：HP=β：1-β
とする時、
(→OP)=α(1-m)(→a)+mα(→b)
(→OP)=β/3(→a)+(1-β)(→b)
と二通りに表せる事により一時独立から
α=1/(3-2m)
β=(3-3m)/(3-2m)
と求まり、
(→OP)=(1-m)/(3-2m)(→a)+m/(3-2m)(→b)

＞0=(→OP)・(→PA)=(→OP)・((→OA)-(→OP))
＞=9(1-m)*(3-2*m)+3*m*(3-2*m)-9*(1-m)^2-4*m^2-6*(1-m)*m
これがちがう。下のようになる
0=(→OP)・(→PA)=(→OP)・((→OA)-(→OP))
={9(1-m)(2-m)+3m-4m^2}/(3-2m)^2

よって両辺に(3-2m)^2を掛けて整理して
5m^2-24m+18=0
∴m=(12±3√6)/5
で、
m=(12-3√6)/5 は0<m<1に収まりました

お礼

お陰さまで上手くきました。

どうもありがとうございました。