完全数が連続した自然数の和で表されることの証明。

質問

６＝１＋２＋３、２８＝１＋２＋３＋４＋５＋６＋７などです。
「世にも美しい数学入門」のなかで藤原正彦先生が、「いま証明しろっていわれたら十分もあればできるけど」とおっしゃっていますが、凡人の私にはとっかかりすら見つけられません。
証明が載っている本、あるいは証明のとっかかり、どなたか教えて下さい。

回答No.4

yoikagari · ベストアンサー

連続した自然数の和といっても、1から始まる必要はないんですよねw

この問題のポイント
(1)
2のベキ(2^n)でない数は「2つ以上の連続する自然数」(必ずしも1から始まる必要はない)の和で書けること
(2)
2のベキ(2^n)で書ける数は完全数ではない。

(1)の証明

2のベキ(2^n)でない数は
(2^a)*(2b+1)
(ただしaは0以上の整数、bは1以上の整数)
と書くことが出来ます。

2^(a+1)＞2b+1のとき
s=2^a-bからt=2^a+bまでの連続する自然数の和が
s+(s+1)+・・・+t=(t+s)(t-s+1)/2
={(2^a+b)+(2^a-b)}{(2^a+b)-(2^a-b)+1}/2=(2^a)*(2b+1)
と書けます。

2^(a+1)＜2b+1のとき
s=b-2^a+1からt=2^a+bまでの連続する自然数の和が
s+(s+1)+・・・+t=(t+s)(t-s+1)/2
={(b+2^a)+(b-2^a+1)}{(b+2^a)-(b-2^a+1)+1}/2=(2^a)*(2b+1)
と書けます。

2^(a+1)は偶数、2b+1は奇数ですから2^(a+1)=2b+1とはなりえないことに注意してください。

したがって、2のベキ(2^n)でない数は連続する自然数の和で書けることがわかりました。

(2)
2のベキ(2^n)の約数の和は
1+2+・・・+2^n=2^(n+1)-1となるので、2^nは完全数ではありません。

したがって、(1)、(2)より「完全数が連続した自然数の和で表されること」が示されました。

お礼

ありがとうございました。
(1+…+t)-{1+…+(s-1)}=(2^a)*(2b+1)
として
(t+s)(t-s+1)=(2^(a+1))*(2b+1)
からs,tを定める、と理解しました。

それにしても、「連続した自然数の和で表される数のうちに完全数がある」という考え方は全く思いつきませんでした。

本当にありがとうございました。

回答No.3

Tacosan

「偶数の完全数」に限れば, #2 で実質的に終わってます.
#2 によると偶数の完全数が 2^(p-1)(2^p-1) (ここで 2^p-1 は素数) の形でしかありえないことが Euler により証明されているということなので, n = 2^p-1 とおくと 1 + 2 + ... + n = n(n+1)/2 = 2^(p-1)(2^p-1) だから.
で疑問に思ったのは, 「じゃあ奇数の完全数はどうなの」ってところですが... ん～, どうやって証明するんだ?

お礼

（＃４を理解した後で書いています。）

偶数の場合は「なるほど」と納得しました。
奇数の場合ですが、＃４を理解したあとで、
2n+1=n+(n+1)
を思いつきました。

おかげですっきりしました。ありがとうございました。

回答No.2

ayases

まず完全数の定義ですが
「真の約数の和が自分自身になる数」
となります。

証明のとっかかりは
2p-1 が素数のとき、 2p-1(2p-1) は完全数である
p以降の数字はすべて階乗(フォントが無いので表示できない)
となります。

ここまではユークリッドの数論これで不十分なものはオイラーが証明しています。

証明を書いてしまうと面白くないので書きません。
オイラー公式に関しては
「オイラーの贈物」(筑摩書房)という本がありますのでこれをお勧めします。

お礼

ご回答ありがとうございます。
（補足に「＃２」と書いてしまいましたが、「＃１」の間違いです。ごめんなさい。）

補足

#2の補足に書いたことが質問の内容です。
「偶数の完全数が2^(n-1)*(2^n-1)の形に限ること」の証明ではありません。よろしくお願いします。

回答No.1

erara

完全数の定義って「連続した自然数～」でしたっけ？
私は「自らの約数の和が自分自身になる」だと思っていました。

下のURLをご覧ください。

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%8C%E5%85%A8%E6%95%B0

お礼

ご回答ありがとうございます。

補足

質問が舌足らずでごめんなさい。
　完全数の定義は、確かに「自分以外の約数の和が自分自身になる。」なのです。（6=1+2+3,28=1+2+4+7+14など）。その完全数の性質に「連続した自然数の和になる」というおもしろいものがある、ということです。
（28=1+2+…+7,8128=1+2+…+127など）
　このおもしろい性質の証明が知りたい、というのが私の質問です。よろしくお願いします。