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完全数が連続した自然数の和で表されることの証明。
６＝１＋２＋３、２８＝１＋２＋３＋４＋５＋６＋７などです。 「世にも美しい数学入門」のなかで藤原正彦先生が、「いま証明しろっていわれたら十分もあればできるけど」とおっしゃっていますが、凡人の私にはとっかかりすら見つけられません。 証明が載っている本、あるいは証明のとっかかり、どなたか教えて下さい。
- tarobe_san
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- 数学・算数
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連続した自然数の和といっても、1から始まる必要はないんですよねw この問題のポイント (1) 2のベキ(2^n)でない数は「2つ以上の連続する自然数」(必ずしも1から始まる必要はない)の和で書けること (2) 2のベキ(2^n)で書ける数は完全数ではない。 (1)の証明 2のベキ(2^n)でない数は (2^a)*(2b+1) (ただしaは0以上の整数、bは1以上の整数) と書くことが出来ます。 2^(a+1)＞2b+1のとき s=2^a-bからt=2^a+bまでの連続する自然数の和が s+(s+1)+・・・+t=(t+s)(t-s+1)/2 ={(2^a+b)+(2^a-b)}{(2^a+b)-(2^a-b)+1}/2=(2^a)*(2b+1) と書けます。 2^(a+1)＜2b+1のとき s=b-2^a+1からt=2^a+bまでの連続する自然数の和が s+(s+1)+・・・+t=(t+s)(t-s+1)/2 ={(b+2^a)+(b-2^a+1)}{(b+2^a)-(b-2^a+1)+1}/2=(2^a)*(2b+1) と書けます。 2^(a+1)は偶数、2b+1は奇数ですから2^(a+1)=2b+1とはなりえないことに注意してください。 したがって、2のベキ(2^n)でない数は連続する自然数の和で書けることがわかりました。 (2) 2のベキ(2^n)の約数の和は 1+2+・・・+2^n=2^(n+1)-1となるので、2^nは完全数ではありません。 したがって、(1)、(2)より「完全数が連続した自然数の和で表されること」が示されました。
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- Tacosan
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「偶数の完全数」に限れば, #2 で実質的に終わってます. #2 によると偶数の完全数が 2^(p-1)(2^p-1) (ここで 2^p-1 は素数) の形でしかありえないことが Euler により証明されているということなので, n = 2^p-1 とおくと 1 + 2 + ... + n = n(n+1)/2 = 2^(p-1)(2^p-1) だから. で疑問に思ったのは, 「じゃあ奇数の完全数はどうなの」ってところですが... ん～, どうやって証明するんだ?
お礼
（＃４を理解した後で書いています。） 偶数の場合は「なるほど」と納得しました。 奇数の場合ですが、＃４を理解したあとで、 2n+1=n+(n+1) を思いつきました。 おかげですっきりしました。ありがとうございました。
- ayases
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まず完全数の定義ですが 「真の約数の和が自分自身になる数」 となります。 証明のとっかかりは 2p-1 が素数のとき、 2p-1(2p-1) は完全数である p以降の数字はすべて階乗(フォントが無いので表示できない) となります。 ここまではユークリッドの数論これで不十分なものはオイラーが証明しています。 証明を書いてしまうと面白くないので書きません。 オイラー公式に関しては 「オイラーの贈物」(筑摩書房)という本がありますのでこれをお勧めします。
お礼
ご回答ありがとうございます。 （補足に「＃２」と書いてしまいましたが、「＃１」の間違いです。ごめんなさい。）
補足
#2の補足に書いたことが質問の内容です。 「偶数の完全数が2^(n-1)*(2^n-1)の形に限ること」の証明ではありません。よろしくお願いします。
- erara
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完全数の定義って「連続した自然数～」でしたっけ？ 私は「自らの約数の和が自分自身になる」だと思っていました。 下のURLをご覧ください。
お礼
ご回答ありがとうございます。
補足
質問が舌足らずでごめんなさい。 完全数の定義は、確かに「自分以外の約数の和が自分自身になる。」なのです。（6=1+2+3,28=1+2+4+7+14など）。その完全数の性質に「連続した自然数の和になる」というおもしろいものがある、ということです。 （28=1+2+…+7,8128=1+2+…+127など） このおもしろい性質の証明が知りたい、というのが私の質問です。よろしくお願いします。
お礼
ありがとうございました。 (1+…+t)-{1+…+(s-1)}=(2^a)*(2b+1) として (t+s)(t-s+1)=(2^(a+1))*(2b+1) からs,tを定める、と理解しました。 それにしても、「連続した自然数の和で表される数のうちに完全数がある」という考え方は全く思いつきませんでした。 本当にありがとうございました。