連続に関する問題

質問

問題は画像にあります。
(1)からわかりませんでした。何の定理を使えばいいのかさっぱりわからない状態です。
(2)はε-δを使うと思うのでやってみたんですが、きれいに式が変形できず、証明できませんでした。
(3)は(1),(2)のことを使うと思うのですがわかりません。

数学に関する厳密な定義がされてる本などを読んでみたんですが、駄目でした。
少しでもいいので、教えてもらいたいです。

回答No.2

kabaokaba · ベストアンサー

R上の微分可能な関数f(x)が
f(0)=a，f(x)<a (0<x<=1) f'(0)≠0を満たすとする．
以下の問いに答えよ
(1) f'(0)<0 であることを示せ
(2) 関数g(x)を次のように定める．
g(x) = -f'(0) (x=0)
g(x) = (a-f(x))/x (x>0)
このとき，g(x)はx>=0で連続であることを示せ
(3) あるC≠0が存在して
a-f(x)>=Cx (0<=x<=1)
が成立することを示せ

ってとこかな．
言葉使いは大学っぽいけど
実質は大学入試問題レベルです．

(1)h>0に対して
( f(0+h)-f(0) )/h = (f(h)-a)/h < 0
また，fは微分可能なので，h->0での極限は
h->+0の極限と一致するので
f'(0) <= 0
さらに，f'(0)≠0なので，f'(0)<0

(2)x>0で連続なのは明らか．
したがって，x=0での連続性のみを示せばよい．
f(x)は微分可能なので，
(a-f(x))/x = (f(0)-f(0+x)) / (x-0)
= -(f(0+x)-f(0)) / (x-0) -> -f'(x) (x->0)（導関数の定義）
したがって，
g(x) -> g'(0) (x->0)
すなわち，gはx>=0で連続

(3) (2)よりg(x)は0<=x<=1で連続だから最小値が存在する．
この最小値をCとおく.
g(x)>0であるので，C>0である．
また，g(x)>=C であるので
x>0のとき
a-f(x) >= Cx
x=0のときは
a-f(0) = 0 >= 0 = C・0
なので成立．
したがって，a-f(x)>=Cx (0<=x<=1)

お礼

ε-δにこだわりすぎていました。こんなにも簡単に解けたことに感動しました。忙しいなかありがとうございました。

回答No.1

imasokari

こんばんは。

　うーん、画像の尺が小さすぎるのか、荒いのか、何が書いてあるのかがわからないですね。
　できれば数式を書いてもらって、書けないところ（グラフ等）を画像で載せてもらえたら、皆さんお答えになるのではないでしょうか。

　多分私には難しくて答えれない問題だと思いますが(._.)

●蛇足ですが●
+…たす
-…ひく
*…かける
/…わる
^…累乗
例
f(x)=ax^2+bx+c
y=x^(a-1)-5/b