軌道角運動量演算子について

質問

角運動演算子は

L=-ih(eφδ/δθ-eθ1/sinθδ/δφ）

でこれを二乗した時に、

L^2=-h^2〔1/sinθδ/δθ(sinθδ/δθ)
＋1/sin^2θδ＾2/δφ＾2〕

になるはずなんですが私の数学力不足で計算できません。解る方回答お願いします。

ｈはhbarのことです。またeφ,eθなどは球面座標の単位ベクトルです。結果論からするとeθがなぜかsinθに化けるといける気がするんですが…。

回答No.2

ryn · ベストアンサー

例えば，
　A = (e_φ)(∂/∂φ)
という演算子があったとして
　Aψ = (e_φ)(∂ψ/∂φ)
はいいですね．

ここで，
　(A^2)ψ
= (e_φ)(∂/∂φ){(e_φ)(∂ψ/∂φ)}
= (e_φ){(∂/∂φ)(e_φ)} + (e_φ)^2(∂/∂φ)(∂ψ/∂φ)
= (e_φ){(∂/∂φ)(e_φ)}*(∂ψ/∂φ) + (∂^2/∂φ^2)ψ
のような感じで (∂/∂φ)(e_φ) などの項をちゃんと計算できるなら
今のご質問も同様にやっていけばよいだけです．
デカルト座標の単位ベクトルと違い微分して0にならないところが注意です．

L^2=-h^2〔1/sinθδ/δθ(sinθδ/δθ)
＋1/sin^2θδ＾2/δφ＾2〕
をテキスト形式で導くのはかなり面倒なので
上の例を参考にして頑張ってみてください．

回答No.1

gontarohk

角運動量演算子はベクトル演算子ですから、３つの要素があるはずです。お示しの演算子は極座標表示で表されているようですが（普通はｘ、ｙ、ｚの直行座標系で表す場合が多いのですが）あと２つの要素を出して、それらの交換関係を求める必要があると思います。

お礼

回答ありがとうございます！

補足

私が質問文に書いたLは

-ih(r×∇）なのですでに三つの要素が入ってると思います。