なぜ、こうなるのか？（虚根について）

質問

今、当たり前の等式を用意します。

　1=1

　そして、右辺だけを二乗します。等式は変わりませんよね、１は何乗されようと、１ですから。

　1^2＝1

　2乗を消す。

　1=±1

　…この－１というのは一体どうして現れてしまうのでしょうか？
　確かこれは虚根と言われているような記憶がありますが。
　計算のどこかの過程が間違っているのでしょうか？全くわかりません。

　どの本を見ても、「これを虚根という」としか記されておらず、どうして虚根が生まれるのかはわからずじまいなのです…どなたかご教示願います。

回答No.3

ken1tar0u · ベストアンサー

まず、この場合の -1 は「虚根」ではありません。「虚根」というのは、多項式（例えば x^2 - 6x + 10 など）が 0 になるときの x の値のうち、虚数になっているものを言います。上の例だと x=3+i または x=3-i が根なので、両方とも虚根です。

次に、本来の御質問に戻りまして、
1^2 = 1 から 1=±1 を導くというわけには行きません。
「x^2 = 1」が成り立つためには「x = ±1 であることが必要十分条件」が導かれます。x を使った式の場合で言うと、「二乗を消す」操作をするというのは言わば簡略化した表現であり、厳密には「二乗したら1になるような x を探したら、1 と -1 の２つがあって、それ以外に無いことが判った」ということです。
一方、最初の 1^2 = 1 は、「1の二乗は1に等しい」と言っているだけで、さっきのように x を探す作業は不要なので、+ と - の数が現れる必然性がありません。

お礼

なるほど、よくわかりました。

ありがとうございました。

回答No.2

tatsumi01

これは虚根ではなくて無縁根です。
x = 1 と x = -1 の両辺を二乗すると、両方とも
x^2 = 1
になります。したがって、二乗して 1 になる数は二つあります。
例えてみれば、入口が二つある建物のようなもので「私は確かに東口から入ったんだけど、出て見ると目の前に駅がない。どうなっているんだ」と騒いでいるのと同じです。
絶対値が同じで符号だけ違う数は、二乗すると同じになるので、無縁根が紛れ込むのです。

回答No.1

sunasearch

＞　2乗を消す。

＞　1=±1

単に２乗を消すという操作と、平方根を求めるという操作は別の操作です。

両辺に同じ操作を行なわないと、等式は成り立ちません。