円錐の断面の形について

質問

円錐を水平に切ったときの断面図は、円になりますが、円錐を傾けていくと断面図の円は、どのように変化するのでしょうか？式での表現がうまくいきません。

回答No.2

siegmund · ベストアンサー

原点に頂点があり，軸がz軸になっている円錐の方程式は
(1)　　ax^2 + ay^2 - z^2 = 0
(a は正の定数)ですから，
平面の式と連立させればＯＫです．

a=1 の場合の円錐を xz 平面で見たのが下図です
普通の円錐は z<0 の部分ですが，z>0 には逆立ちした円錐があると思ってください．
こうしておくと，双曲線が見やすいのです．

　　　　　　ｚ　　
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　　───────── ｘ
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xy 平面に平行な面で切るなら，例えば z=1 と連立させて
切り口は
(2)　　x^2 + y^2 = 1
で，円．

以下同様ですので，細かい計算はお任せします．

少し傾けて，z = (x/2) - 1 で切るなら，(1)と連立させて楕円の式になります．

z = x - 1 (母線に平行)で切れば放物線の式．

x = 1 で切れば双曲線の式．
この場合は，上の円錐と下の円錐の両方を切ることに注意して下さい．
曲線が２本出るので，双曲線という名前がついたのです．

回答No.1

siegmund

直円錐の軸が垂直になるように置いておくとして，
切断する面が水平なら，切り口は円．
少し傾けると切り口は楕円．
もっと傾けて面が母線と平行になると，切り口は放物線．
これより傾けると双曲線です．

切断の面が平面が円錐と交わらない，頂点のみで交わる，母線を含む，
などの場合は除外して，
「普通に切った」話にしています．

お礼

なるほどです。ありがとうございます。だいたい分かったと自分では思います。また、切断してできる楕円上の点（座標）、楕円式はどのように導けばいいのでしょうか？