微分方程式

質問

y'=xy+x^2*y^3 (y=f(x))
のときのyを求めたいのですが、
z=1/(y^2)として、
z'+2xz=2x^2
となるところまで分かったのですが、その後が分かりません。

どなたかお願いします。

回答No.2

torahuzuku

＞z'+2xz=2x^2　なんですが、z'+2xz=-2x^2　では？
そこで以下そうだとして進めますね。同次方程式
z'+2xz=0 の一般解を求めると　z=Ae^(-x^2) ですね。
ここで、A=A(x) と仮定すると、
z'=A'e^(-x^2)-2xz　となります。これを
z'+2xz=-2x^2 の式に代入します。すると
A'e(-x^2)=-2x^2 を得ます。両辺にe^(x^2) を掛け、xについて積分します。
∴A=-2∫x^2e^(x^2)dx+B　　Bは積分定数です。ここで
∫x^2e^(x^2)dx=e^(x^2)/2・x^2-∫2x{e^(x^2)/2}dx　　∵部分積分を用いて
=e^(x^2)/2・x^2-∫xe^(x^2)dx
=e^(x^2)/2・x^2-e^(x^2)x^2/2+∫2xe^(x^2)x^2/2dx
=∫e^(x^2)x^3dx
=e^(x^2)/2・x^3-∫e^(x^2)/2・3x^2dx
∴-2∫x^2e^(x^2)dx=-2{e^(x^2)/2・x^3-∫e^(x^2)/2・3x^2dx}
∴-2∫x^2e^(x^2)dx-3∫e^(x^2)x^2dx=-2{e^(x^2)/2・x^3}
∴A=-5∫e^(x^2)x^2dx-e^(x^2)x^3+B
よってこれを　z=Ae^(-x^2) に代入します。
∴z={-5∫e^(x^2)x^2dx-e^(x^2)x^3+B}e^(-x^2)
=-5∫x^2dx-x^3+Be^(-x^2)
=-5x^3/3-x^3+Be^(-x^2)
=-8x^3/3+Be^(-x^2)
よって　z=1/(y^2)　より
y^-2=-8x^3/3+Be^(-x^2) になるのでは？

回答No.1

iwaiwaiwa

z'+2xz=0 を解いて
z=Cexp(-x^2)
eは自然対数、Cは定数
z=C(x)exp(-x^2) とおくと
z'+2xz=C'(x)exp(-x^2)-2xC(x)exp(-x^2)+2xC(x)exp(-x^2)
=C'(x)exp(-x^2)

よって z'+2xz=2x^2 は
C'(x)exp(-x^2)=2x^2 となる
C'(x)=2x^2exp(x^2)
両辺を積分すると部分積分を用いて
C(x)=xexp(x^2)-∫exp(x^2)+C (Cは定数)
みたいになりますが、初期条件とかありませんか？

中途半端でごめんなさい。