二次元の閉じられた図形での重心が必ず求められることの数学的根拠

質問

図形の外にあれば重心とは言わないでしょうが、このような不動点（？）が2次元の図形では存在すると思いますが、これは数学的にはどのように表現されることなのでしょうか。

回答No.4

sinobu_wednesday · ベストアンサー

重心とは、その点を通る任意の直線によって図形を2つに分けると、必ずその図形Zの面積が2等分されるという点、と定義できます。

ここで、こういった点が2つ存在すると仮定します。重心Gと重心G'を通る平行線を引きます。重心の定義から、これらの平行線のどちらによってもその図形は2等分されます。Gを通る任意の線Hによって分けられたそれぞれの図形をA,Bとすると、A=Bとなり、G'を通り、かつHに平行な線H'によって分けられたそれぞれの図形をA',B'とすると、A'=B'となります。ただし、BはG'を含み、A'はGを含むものとします。
図形からHとH'の2本の線で切り取られた部分をCとすると、A'-A=Cとなります。よって2A'-2A=2Cですが、

A+B=A+A=2A=Z
A'+B'=A'+A'=2A'=Z

ですので、2A'-2A=Z-Z=0、つまりC=0となります。
任意の2本の平行線で切られた部分の面積が0ということは、2本の平行線の距離が0、つまり2本の平行線が重なった場合しか考えられません。この場合、G,G'の双方が一本の直線に乗ることになりますが、G,G'の2点を通る直線は一意に決められるため（逆に言えば一意に決められてしまうため）、任意の直線H、およびHに平行なH'によって成り立つ上記の関係と矛盾します。よって、GとG'は別の点であるという仮定が否定され、G=G'ということになります。
上記により重心は2点であり得ないことから、3点以上についても上記の類推でとりえず、よって重心は一点に存在しうることになります。

厳密には#3さんの回答にあるとおりベクトルの積分で計算をすることになり、場合によっては重心が図形の外に出る場合もありますが、方程式の実数解と虚数解に相当ということはありません。もともと図形の内側と外側というのは重心の計算に取りあまり意味はありませんので、場合によっては重心が図形の外に出てしまう…くらいの話になります。

重心が図形の外に出てしまう典型的な図形は、2つの同心円で切り取られた輪状の図形ですね。この場合、重心は同心円の中心になりますが、輪状の図形からみると図形の外側、ということになります。

お礼

ご丁寧にご説明いただいてありがとうございます。勉強させていただきます。

回答No.1

sunasearch

重心とはすなわち、平均です。

平面上に、均等に敷き詰められた点の、平均の座標の位置が、重心の座標です。

すべての点が、「二次元の閉じられた」有限の座標値をもつわけですから、その有限の値の平均も存在するという感じでしょうか。

お礼

よくわかりました。コマなども3次元の形のものは形が限定されることにも関係するわけですね。どうもありがとうございました。