数学における４次元空間の考え方

質問

数学的に４次元空間とはいったいどういうことを意味しているのでしょうか？４本の軸が互いに垂直に交わっている空間を考えているということなのでしょうか？高校生でも分かるような表現でどなたかよろしくおねがいします・・・。

回答No.6

zk43 · ベストアンサー

一応補足しますと、３次元の図形Dの体積は、∫∫∫(D)1dxdydzであ
り、微小な直方体dxdydzをD内でかき集めたイメージです。
もう少し正確にいうと、Dを含む直方体E＝[x1,y1]×[x2,y2]×[x3,y3]
において、(x,y,z)∈Dならば1、そうでなければ0という関数χを考え
て、∫∫∫(E)χ(x,y,z)dxdydzでDの体積を定義します。
このχをDの定義関数といいます。
こうすると、Dが1点のときとか、直線のときとか、平面のときではD
の体積は0になります。
要するに、２次元以下の図形を、３次元のメジャーで測るとその大きさ
は0ということです。
４次元以上でも同様です。
また、長さ、面積、体積などは一般に「測度」という概念の特別な場合
ですが、フラクタル幾何というものがあり、整数次元でない、1.5次元
とかの図形もあります。マンデルブロー集合などの、フラクタル図形と
いわれるものです。これは、長さの何乗のメジャーで測ると、その図形
の大きさがうまく測れるかという考えに基づいています。インターネッ
トでもフラクタル図形をグラフィックで見られるものがあると思います
ので、興味を持たれたら調べてみてください。

お礼

ご回答ありがとうございます！フラクタル図形については以前自分で調べてみたのですがもう一度よく調べて勉強してみます。

回答No.5

Tacosan

積分と体積の関係だけですが, f(x, y, z) が密度を表すとすれば f(x, y, z) の三重積分は全体の質量になりますね. f(x, y, z) = 1 とおくと体積.

補足

分かりやすい説明ありがとうございます。密度という考え方もあるのですね。参考になりました。ということはf（x，y，z）が何を表すかによって積分した値の意味も変わってくるということでしょうか？だとすれば密度以外に考え方があるのでしょうか？間違っていたらスイマセン・・・回答よろしくお願いします！

回答No.4

sanori

４次元の"体積"ご興味がおありのようですので、
過去質問のリンクを貼っておきますね。（１～４次元の球について）
私のつたない回答も入っています。
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=2004787
ご参考程度ですが。

お礼

ご回答ありがとうございます。sanoriサンの回答参考にさせていただきます！

回答No.3

zk43

4次元空間は4つの実数の組(x1,x2,x3,x4)全体の集合と考えられます。
二つのベクトル(x1,x2,x3,x4)と(y1,y2,y3,y4)に対して内積を、
x1y1+x2y2+x3y3+x4y4と定義して、内積が０にのとき、２つのベクトル
は直交すると定義します。
すると、直線(x1,0,0,0),(0,x2,0,0),(0,0,x3,0),(0,0,0,x4)が4つの
直交軸としてとれます。
ただし、視覚化することはできません。
3次元空間での体積は、３重積分を使って定義されますが、４次元空間
では４重積分を使って体積というか測度が定義されます。
（高校では２重積分以上はやりませんけど。実際、面積は２重積分に
よって定義されるのですが、高校では面積の正確な定義はやりません。
面積を積分によって求める、というか逆に積分によって面積を定義する
のです。）
同様にして、4次元以上のｎ次元空間、もっと言うと、無限次元空間も
考えられます。

補足

「3次元空間での体積は、３重積分を使って定義されますが」について　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　変数XYZに対してf（X，Y，Z）が与えられている領域をDとすれば、領域Dでの三重積分は３次元での体積ではなく４次元での体積を求めているということではないのでしょうか？　高校では二重積分すらしないので・・・すいません。回答お願いします。

回答No.2

koko_u_

数学的に 4次元というと真っ先に思い付くのはベクトル空間の次元としての 4次元ですね。

そこでは「4つの数から確定する『もの』」としてのみ空間は把握され、直交性も消えています。

具体的な例で言うと、
「直線の全体」が「2次元空間」。これは「切片」と「傾き」の2つの数から『直線』がきまるから。
「放物線の全体」が「3次元空間」。これは「焦点の座標」と「準線の位置」の3つの数から『放物線』がきまるから。

ということは「3次曲線の全体」が「4次元空間」。アラ不思議。そして3次曲線を特徴付ける「4つの数」を考えるのはちょっと難しいネ。

次元が上がると形式的／代数的な手法に頼らざるを得ないということか？

お礼

丁寧な解説ありがとうございます。「4つの数から確定する『もの』」という考え方もあるのですね。この場合は４次元空間における立体？の体積なども考えられるのでしょうか？

補足

丁寧な解説ありがとうございます。「4つの数から確定する『もの』」という考え方もあるのですね。この場合は４次元空間における立体？の体積なども考えられるのでしょうか？

回答No.1

noname#256528

4次元を3次元的に表現する事は難しい(不可能)とされています。
ただし擬似的にこうでないかというものはいくつも存在しています。
それは3次元座標を作りますそれをいくつも重ねていきますそれが4次元の擬似的な図形らしいです。

お礼

ありがとうございます。参考にさせていただきます。