厳密な自由落下の計算について

質問

いくら考えてもモヤモヤが晴れないので宜しくお願い致します。。

形状が同じで重さの異なる二つの物体を自由落下させた場合、重い物体の方がより地球を自分の方へと引き寄せるので、結果、重い物体の方が先に地面へと到達するという事を知りました。

そこで、両者の時間差を定量的に評価してみようと以下のような計算を試みたのですが、どうも上手くいきません・・・

物体のパラメータを小文字で、地球のパラメータを大文字で表記しますと、運動方程式は

f = -GMm/r^2
F = GMm/r^2

となりますので、相対加速度は、次のようになります。

a-A = (d/dt)^2*r = -G(M+m)/r^2

それでこいつを積分してやろうと思ったのですが、rがtの関数かつ未知数なので手詰まりになってしまいまして、それならばとrの微分方程式として解いてやろうとも考えたのですが、こちらもrの雛形が重いつかず八方塞がりとなってしまいました・・・・

もしこの問題の解決法が分かるいらっしゃいましたらご教授願いたいと思います。。宜しくお願い致します。

回答No.2

BCS1957 · ベストアンサー

こんにちは。

微分方程式 d^2r/dt^2=A/r^2 (A=-G(M+m))ですが、両辺にdr/dtをかけることで解くことが可能です。
左辺は(dr/dt)(d^2r/dt^2)=(1/2)d/dt ((dr/dt)^2)となります。
一方右辺は、A/r^2・(dr/dt)=-A d/dt (1/r)となります。
両辺を積分するとd/dtが消え、
　　(dr/dt)^2=-2A/r　⇒　dr/dt=√(-2A/r)
が得られます。あとは変数分離して
　　√(r) dr=√(-2A) dt
これを積分すれば、r=αt^(2/3)となり、tの2/3乗の関数になります。
あとは積分定数を求めるための初期条件があれば良いと思います。

少し見難い文章ですが、ご勘弁ください。。。

お礼

素晴らしい回答をありがとうございます！！！
冒頭に挙げて頂いた脳内積分(？)には驚かされました・・・ｗ　
いやぁこんな技術があるんですねぇ。。

とりあえずBCS1957さんの回答に習って計算を進めております。
一応初期条件はr(0)=R, dr/dt(0)=0　の二通り用意しているのですが、
途中で出てくる積分定数のせいで　dr/dt=√(-2A/r +C ) なる式が出てきてしまい、またもや手詰まりを起こしております←←

が、残りは自力で頑張ってみます。。　解答が出来次第ベストアンサーを差し上げたいと思います。
このたびはありがとうございました。勉強になりました

回答No.1

eatern27

最後の微分方程式の右辺のrを地球の半径Rで近似すれば、十分な精度で求まるのでは？

お礼

回答ありがとうございます。
確かにその方法で計算はできるのですが、今回は100km先、1000km先、更にそれ以上先など、様々な場合について調べてみたいので、できれば近似を用いない方法で解を導きたいと思っております。
恐れ入りますが引き続き宜しくお願い致します。