2次方程式

質問

x^2-2x-1=0という2次方程式があるのですが、どうにも解けません。
ぱっと見、かなり単純に見えたのですが、
(x-1)^2や(x+1)^2という形に出来ないことに？？です。
-2xにするには↑のような形にするのかな？と考えたのですが、それでは2乗して-1には出来ませんし、身近に教えてくれる人がおらず、かれこれ1時間程考え込んでおります。
かなり単純な問題でしたらすみません。自分の頭の足りなさにうんざりです・・・。
どうかご指導をお願いします。

回答No.7

superjapan · ベストアンサー

「この問題を解け」という問題ならば、答えは
ｘ＝１±√２
となり、有理数の範囲では答えが出ません。

したがって、有理数の範囲では因数分解することは不可能である。という結論になります。

一般に、方程式を解く手順として、まずは因数分解できないかどうか、考えてみることです。今回catuaさんは１時間、考えたみたいですが、有理数の範囲内ではできるはずもないのです。
無理矢理、因数分解するとなると、
x^2-2x-1=（x-1+√２)(x-1-√２）
としなくてはならなくなります。

このような場合は、解の公式を使いますが、解の公式をまだ習っていないというのであれば、解の公式を導き出すときと同じ手順をふむしかないでしょう。

以下に導き方を挙げておきます。
ax^2+bx+c=0
x^2+(b/a)x+(c/a)=0
x^2+(b/a)x+(b/2a)^2-(b/2a)^2+(c/a)=0
(x+b/2a)^2=(b/2a)^2-(c/a)
x+b/2a=±√(b^2/4a^2 -4ac/4a^2)
x=(-b±√(b^2-4ac))/2a (二次方程式の解の公式)

上記と同じ手順を踏めば、
x^2-2x-1=0を解くことが出来ます。

「解答」
x^2-2x-1=0
x^2-2x+1-1-1=0
(x-1)^2=2
x-1=±√２
ｘ＝1±√２　（答）

※もし、解の公式を使うことが許されているならば、解の公式を使ってしまったほうが速いですよ。

回答No.6

shibainumodoki

＃５ですが、もっと簡単に言えば、
x^2-2x-1=0　から　x^2-2x=1
x^2-2x+(1-1)=1　（← (x-1)^2 を作るために 1-1=0 を足した）
　よって (x-1)^2-1=1 から (x-1)^2=2　ということです。

回答No.5

shibainumodoki

(x-1)^2という形に持ち込むので合ってます。
方法ですが、まず　(x-1)^2=x^2-2x+1 ですね
　つまり　x^2-2x=(x-1)^2 - 1 と分かります。
x^2-2x-1=0　から{(x-1)^2-1}-1=0
つまり　(x-1)^2=2 になりませんか？

回答No.4

Quattro99

解の公式を使ってはダメだということでしょうか？
その場合は、解の公式を作るときと同じようにやるしかないのではないでしょうか。

（x-a）^2-b=0
の形にするということです。
そうすれば、
（x-a）^2=b
x-a=±√b
x=a±√b
と解くことが出来ます。

回答No.3

パんだ パンだ（@Josquin）

高校生なら出来ないと困りますが、中学生でしょうか？
解の公式というのがあるので、覚えてください。
x={-b±√(b^2-4ac)}/2a

２ａ分の　マイナスｂ　プラスマイナス　ルートｂ二乗マイナス４ａｃ
（導くこともできますが、これは覚えるべき公式です。）

回答No.2

haukappu

解の公式を使う。

回答No.1

gific

乗法公式の、
(x-a)^2=x~2-2ax+a~2
を当てはめると答えが出ると思います。