整数問題

質問

axy＋bx＋cyから積をつくる方法をおしえてください

例えば
(1/(3x)＋(1/(3y))=1/2を満たす自然数(x,y)をすべて求める問題のとき

2y-3xy＋2y=0
x(2-3y)＋2y=0
ここまではできました。

次の2つの式がどうしてでるのかわかりません
2y=-(3/2)*(2-3y)＋(4/3)
から
x(2-3Y)-(2/3)*(2-3y)＋(4/3)=0

上の二つの式はどうしてこうかなるのかわかりません。
お願いします

回答No.1

shkwta

積を作る方法ですが、一般的には

　axy + bx + cy = d　（a≠0)
⇔(ax)(ay) + abx + acy = ad
⇔(ax+c)(ay+b) = ad+bc
と変形するといいと思います。

ご質問の例では、
x(2-3y)＋2y=0
この式から、(2-3y)という因数をくくりだすために、3yを作ります。

x(2-3y) + (2/3)3y=0
x(2-3y) + (2/3)3y - (2/3)2 + (2/3)2 = 0
x(2-3y) - (2/3)(2-3y) + (2/3)2 = 0
(x- 2/3)(2-3y) = -(4/3)
(3x-2)(3y-2) = 4

上の変形をまとめて書くために、

2y=-(3/2)*(2-3y)＋(4/3)
これをx(2-3y)＋2y=0に代入すると
x(2-3y)-(3/2)*(2-3y)＋(4/3)=0

と書いているのだと思います。

補足

ご親切にありがとうございます。
参考書に
axy＋bx＋cy
=x(ay＋b)＋cy

から
(c/a)*(ay＋b)=cy＋(ba/a)
よりcyが求められる公式がありました。

隅のところに(ay＋b)のyの係数をＣにするために、
(ay＋b)に(c/a）をかけるそうですがよくわからないです。CにするにはCだけかければいいようなきがしますが。