整数問題

質問

5^x-3^y=2となる自然数(x,y)は(1,1)のみしかないと思いますが、他に解が無いことを証明できません。この問題の記述を教えてください。また他に解があるならそれを求める記述も教えてください。

回答No.3

applydisappear

誤答してしまい、すみません。
では、正しい解答といきましょう。

3^y=5^x-2となります。つまり、
3^y≡5^x-2(mod 5)
3^y≡-2(mod 5)
3^y≡3(mod 5)
となります。

そこでyについて考えると、y≡1(mod 4)となります。

（※ここの考え方は後にも使います。）
ここで、y=1+4kと置いてみると、3^(1+4k)-3=3((3^4)^k-1)となりますが、ここでnが自然数の時に、x^n-1はx-1で割り切れることが因数定理で分かるので、3^(1+4k)-3は3^4-1で割り切れます。ここから、3^y≡3(mod 3^4-1)、つまりは3^y-3≡0(mod 80)となります。
（※ここまで）

これをさらに書き換えると5^x-5≡0(mod 80)となります。

ここで、5^x-5は80の倍数なのですが、つまりは5^x-5は16の倍数です。よって、5^x≡5(mod 16)です。

ここで、x≡1(mod 4)ということが分かります。そこから（※）の考え方を使うと5^x≡5(mod 5^4-1)、つまり5^x≡5(mod 624)となります。ここで、問題文の式から3^y≡3(mod 624)となり、3^y≡3(mod 13)であることが分かります。ここで新たにy≡1(mod 3)が分かるため、先ほどのy≡1(mod 4)と合わせてy≡1(mod 12)であることが分かります。

y≡1(mod 12)であるため、ここで（※）の考え方を使うと、3^y≡3(mod 3^12-1)、つまりは3^y≡3(mod 531440)であることが分かります。つまりは5^x≡5(mod 531440)です。531440を素因数分解すると、5×7×13×16×73です。つまりは5^x≡5(mod 7)です。ここで、x≡1(mod 6)となることが分かります。先に判明しているx≡1(mod 4)と合わせると、x≡1(mod 12)になります。

x≡1(mod 12)であることから、（※）の考え方を用いて、5^x≡5(mod 5^12-1)とします。

さて、5^12-1=(5^6-1)(5^6+1)=(5^3-1)(5^3+1)(5^6+1)=(5-1)(5^2+5+1)×126×(5^6+1)となりますが、126は9の倍数です。

つまりは5^x≡5(mod 9)とします。
そして問題文の式を使うと、3^y≡3(mod 9)です。

さて、3^y≡3(mod 9)ですが、これが成立するためには左辺を9で割ると3余る必要があります。しかしy≧2の場合は左辺は9の倍数となり不適です。つまりy=1である必要があります。

xは、y=1を代入すると5^x-3=2となるため、x=1となります。

よって、x=1、y=1だけが答えになります。

回答No.2

applydisappear

とりあえず、5^x-5=3^y-3となります。

右辺は3の倍数、左辺は5の倍数となり、これらがイコールでつながっているので、両辺0か15の倍数でなければいけません。

5^x-5=3^y-3=15k-15とおけます。(kは1以上)

これを２つの式に分けてみます。
5^x=15k-10
3^y=15k-12
となります。

さて、5^x=5(3k-2)となりますが、左辺は素因数が5^pの形になります。つまりは右辺もそうならないといけません。

3k-2も1か5^qの形となる必要があります。

ここで、3k-2が5の倍数となる条件を考えると、（これは質問者様には簡単だと思うので、過程を省略します）kが10m-6と表される必要があります。3k-2=3(10m-6)-2=30m-20となります。この形を見ると、偶数です。つまり素因数に2が入ります。となると、3k-2は5^qの形で表されません。つまり、3k-2は1である必要がある。つまりk=1

ということで、5^x-5=3^y-3=15-15=0となるので、x=y=1しかないわけです。

（説明が誤っていたら、ご指摘願います。）

補足

別にk=5m-6でも5の倍数にはなりますよね？
3k-2=3(5m-6)-2=15m-20となりますけど

回答No.1

69015802

（4，6）でも（10，16）でも（16，26）でも 5x=3y*2 が成立すればいくらでもあるんじゃないですか。
それとも私が質問の趣旨を勘違いしているのでしょうか。
Ｘ≦Ｙという条件があるなら別ですが。

補足

すいません。掛け算じゃなくて累乗ですm(*_ _)m