部分が全体に等しいのが無限であるとすると・・・

質問

タイトルのような記述に遭遇しましたが、微積分などでも導関数や原始関数は元の関数に対して部分と全体の関係として等しいと考えられるのでしょうか。

回答No.1

sunasearch · ベストアンサー

部分というのは、基本的に同じ次元の中で考えます。

ある領域の一部であれば、たとえば面積として[m^2]などの次元が存在して、全体も部分も同じ次元で表されます。

しかし、微積分を行なうことは次元を変えます。
たとえば、距離[m]を時間で微分すると速度[m/s]になります。
次元が変わると、全体と部分という関係にはならないと思います。

お礼

早速ご回答ありがとうございます。もう少し勉強してみます。

回答No.2

ken1tar0u

御質問の答えとしてはすでに #1 さんが書かれたとおりです。以下参考情報。

「部分が全体に等しいのが無限であるとすると」という表現だけを取り出すと誤解を招きますね。この言葉は無限集合の定義に出てきます。

ある集合 A が無限集合である（A の要素の数が無限である）とは、A の真部分集合 B を上手に選ぶと、A とB との間に1対1の上への対応が作れることである。

というものです。「1対1の上への対応」というのは、例えば、お皿数枚 の集合 A とみかん数個の集合 B があるとき、お皿1枚の上にみかんをちょうど1個だけ乗せて行く。そして皿にみかんを全部乗せ終わり、みかんの乗ってない皿も無いし、皿に乗ってないみかんも無いとき、1対1の上への対応が付いた、と言います。有限集合であれば「A と B は要素の数が同じだ」という当たり前の意味になります。
無限集合の場合、例えば
Z：整数全体の集合； G：偶数全体の集合
としますと、G は Z の真部分集合ですが、Z の要素 k に対して G の要素 2*k を対応させれば、Z にも G にも余り無く対応付けることができます。つまり1対1の上への対応ができます。誇張して言えば「部分と全体の個数が同じ」！ これが無限集合の特徴、と言うより本質なわけです。

お礼

おかげさまで無限というものがあるらしいというような感じがしてきました。ありがとうございました。