全体は部分の総和ではない

質問

数学の本を探しています。

そもそも、数字とは何か。
１＋１＝２になるのは、なぜか。
微分、積分とは、どんな意味があるのか。
全体は部分の総和ではない、に対して、数学はどう考えるのか？

色々検索してみましたが、見つかりません。

数式の少ないもの、宜しくく願いします。

回答No.5

baka_inu · ベストアンサー

はじめまして。

人は、類推し補完する生き物です。
「思いこみ」や「集団心理」というのも、この辺りが原因かと。

コーヒーに砂糖を一杯入れなければならないとして、甘いのが好きな人は知らずに量が多めになり、甘いのが苦手であれば量は少なめになるものです。ほんのさじ加減程度の違いがあっても、通常は一杯として「同じもの」だと捉えているでしょう？

いわゆる社会現象というのも、少しずつのさじ加減の違いを想像力が補完していく中で、より大きな傾向として受け止められていく過程なのかな、と。一人一人は話の分かる人たちでも、集団となると暴徒と化すような現象は、こういうところに原因があるのかな、と。

「全体は部分の総和ではない」って…こういうことでしょうか？
何か実例が示されると、もっと分かりやすいかもしれませんね。

で、数学ですが。
上記のような主観性のある要素をできるだけ排除していく方向で発展してきたものだと思うのですが、いかがでしょうか？
「スプーン一杯の砂糖 → 砂糖30ｇ」といったように、なるべく主観を排除し、「全体＝部分の総和」が成立する系の中で考えられ発展してきたような気がします。でなければ、客観性に欠けるため使い物になりませんから。

まとめますと、人間の主観や認識の補完性が影響して起こった「全体は部分の総和ではない」という現象は、「全体は部分の総和である」ことを前提として考えられた数学という客観性の高い学問分野とは合致しない、ということです。

最新の数学界の現状では、違うのかもしれませんが…いかがでしょう？

お礼

思い込み、確かに、
ただ、客観的判断と主観的判断に齟齬が或る時、
最後に、自分の目と他人の目を比較して、自分の目に、不合格の烙印を押すのは骨ですね。

分かり易い説明で、感謝いたします、数学は客観的学問で、矛盾は何処にも無いと思い込んでいたようです。
前に読んだ経済学の本の中で、加法性の仮定を云々している意味が分かるとともに、仮定だと言う事にも注意しなければ。

一番の悩みは、生命にせよ脳にせよ、全ての物質の集合だけでなく、それ以上のものが、生命や記憶や意識の本質という考えが（機能の問題だと思うのですが）、神や魂と言った、在り得ない者を呼び込むのが心配、これも思い込みでしょうか。
有難うございました。

回答No.4

Ama430

よく、「１＋１≠２」の例として、大豆１リットルと米１リットルの和が２リットルよりもかなり少ない、という事例が出されます。

つまり、「１＋１＝２」の前提として、「加法が正しい意味を持つものを相手にして加法を行う」という暗黙の条件があるのだと思います。

そこからさかのぼって、「そもそも、数字とは何か。」を直観的にお答えするならば、「等質なものの量的なちがいをあらわす言葉」ということになるでしょうか。

微分と積分の対象は関数であり、関数は「量」を別の「量」に加工する(結びつける)道具です。
微分は複雑な道具を限られた狭い場所だけで単純化することであり、積分は、道具を使い続けた積み重ねを記述することなのでしょう。

「全体は部分の総和ではない」についても、他の方が「無限＋無限＝無限」の事例をご紹介されています。
その中には、部分集合同士が相互作用しない事例も含まれています。
正しくは「全体は部分の総和とは限らない」なのですが。

どんな学問にも、役割と限界があります。
他の学問も同じと思いますが、特に数学は、「条件から出発して、その範囲で成り立つ規則性を見つける」という性格を強くもっています。
「ひとつの世界を、別の観点から見てる」のはその通りですが、「二つの基準が在る」という言い方は正しくないように思います。
円柱を四角と言うのも円だと言うのも「別の観点から見ている」から同時に成り立つことです。
目的に応じて、それらのどちらか一方で足りる場合もあれば、斜めから見た見取り図が必要な場合もあるのだということではないでしょうか。

御質問の意図に応じられたかどうか自信ありませんので、誤解に基づく失礼がありましたら、ご容赦下さい。

お礼

ご回答、感謝いたします。
つい、このご回答を頂けた理由を考えてしまうのは、人間の性でしょうか。

皆様のご回答には、感謝しています。

ただ「全体は部分の総和ではない」
これは、増えているのです。此処が悩み

色々参考になりました、有難うございます。

回答No.3

at9_am

この問題は、数学ではなく社会科学の側の問題ですね。
有名な経済学の問題で、「貯蓄のパラドクス」という問題があります。
全員が貯蓄を増やそうとすると、結果的に貯蓄は増えずに収入が減るだけである、というほどの内容ですが、問題は、

個々の貯蓄率が増える→全体の貯蓄が増える

とならないことです。こういったことは、本来は波及効果を考えなければなりません。

よりフォーマルに言えば、

「全体は部分の総和ではない」という意見は、その部分同士が他の部分に対して独立である(影響を受けない)限り、支持される。

というところであり、社会科学のように部分（個人や個々のグループ）が相互に干渉しあうような場合ではなり立たないと言えるでしょう。

お礼

ご回答有難うございます。

数学も社会学も、ひとつの世界を、別の観点から見てるわけですよね、そうなると、二つの基準が在る事に成る様な気がして、質問させていだいたのですが、矛盾は無い、との回答も有り、よく考えてみます。

数学以外では干渉とか相互作用は物なのか？
私の知る限り、還元主義にも一種の限界があり、縁のない数学では、どうなのかなと思った次第です。

補足

今日は、補足欄をこの様に使用すると、マナー違反は承知しています。

遁減と遁増を書き間違えていませんか。

単純なミスで、私も経験ありますし、見る人が見れば、判りますが、
たまたま、連絡の取れる状態でしたので、書き込みました、ご不快に感じたらお許し下さい。

なんせ、検索してももう一つピンと来ないし、回答も無くて、暇なのです。
余計なお世話、失礼しました。

回答No.2

kabaokaba

>数学はこの点の矛盾にどの様に答えているのか知りたいのですが。

全然矛盾じゃないと思いますが・・・
ここの部分だけではなくても
全体としてみると表れるものがあるということでは？
相互作用の存在です．

数学だって，
整数論は整数の範囲では何も分からないに等しいけども
代数幾何とかあらゆる手法を用いて理論を構築する
整数論・代数幾何・位相幾何学などなど・・・
個々のそれぞれでも体系だが
互いに補完して全体としても機能する．

無限集合に関しては

・無限集合Aとは，Aの真部分集合Bで
AとBの間に全単射写像が存在するものがある
ような集合である

という定義があります．
これは「全体と部分が一致することがある集合」を
「無限集合」というものです．
ところがこの無限集合ってのがクセモノで
20世紀の数学はこのあたりに相当の労力を
投じて膨大な研究がなされています．
＃人名を出せば（主観入りまくりですが）・・・
＃カントール・デデキント・ラッセル・
＃ホワイトヘッド・アッケルマン・スコーレム・
＃レーヴェンハイム・ブール・タルスキ・コーヘン
＃ゲーデル・竹内外史・・・
＃何人か検索すれば芋づるでいろいろでてきますが
＃内容を調べるのはけっこう歯ごたえがあります．

>そもそも、数字とは何か。
>１＋１＝２になるのは、なぜか。
>微分、積分とは、どんな意味があるのか。
（略）
>数式の少ないもの、宜しくく願いします。

数式は少ないものなんてありません．
どの問題をとってみても
厳密な構成を行うには，
日常語の揺らぎを廃して，記号化して
演算で処理することが必須の問題です

この手の本は今年がちょうどゲーデル生誕100年の
記念なので，少し本がでています
岩波からは
「ゲーデルの不完全性定理」の論文の和訳
東大出版会からは
「ゲーデルの20世紀」（四巻シリーズ予定）
ですか。。。
ゲーデル関係の本には大抵の場合，
論理に「数の構造」を入れた途端に
いろいろ怪しくなるのが解説されてます
1+1=2なんてのは「数の構造」の根幹なので
まじめにやるとかなりしんどい．

他にも
数学史方面の書籍もあたってみる必要があるかも．
微分・積分あたりの話は
これまた東大出版会の
数学史叢書「ニュートン」
「ライプニッツ」に細かい話がでていますが
数式は必須です．

お礼

詳しくご回答いただき、有難うございます。
＞まじめにやるとかなりしんどい．
一冊の本で、エネルギーの節約したかったのですが、無理のようですね。

矛盾しないですか、
専門的なものより、解説書的な本を当って、判断してみます。
沢山のキーワード有難うございます。

回答No.1

noname#40706

Ａ（１．２．３．４．５．・・・）とＢ（２．４．６．８．・・・）とＣ（１．３．５．・・・）いう３つの集合を考えます。ＢとＣはＡの部分です。ですが１→１、　２→３、３→５というふうに対応させると集合Ａと集合Ｃとは１対１に対応できます。このように無限集合では部分＝全体という場合があると数学では考えています。　無限集合とか、カントール（数学者の名前）などで検索してみてください。

お礼

ご回答有難うございます。

質問タイトルを含めて、キーワードで検索してみました。
二人ほど、学者の名前が見つかりましたが、ハッキリしませんでした。

「全体は部分の総和ではない」
これは、デュルケーム（社会学者）や
ゲシュタルト心理学で、言われる事で、
全体は部分の総和以上の何かである、と言った意味があります。
数学はこの点の矛盾にどの様に答えているのか知りたいのですが。
ひとまず、見つけた手がかりを探ってみます。