無理数から無理数を引いた結果はどうなるのでしょうか。

質問

これも前問の続きになりますが、有理数になるにしても無理数になるにしても実例として教えていただければ幸いと存じます。よろしくお願い申し上げます。

回答No.2

betagamma · ベストアンサー

端的な答えとしては、両方ありえます。
ところで、1+√2が無理数であるかどうかがわからないということですが、1が有理数、√2が無理数であることがわかっているとして、証明してみましょう。

√2は無理数,1は有理数を既知とする。
1+√2が有理数だと仮定すると、整数p,qを用いて、
1+√2=q/p
とあらわすことができるような整数の組p,qがあることになる。
ところが、左辺の1を右辺に移項すると、
√2=q/p-1=(q-p)/p
となる。整数は加減乗法に関して閉じているため、（整数同士をかけてもたしても整数）q-pは整数。
よって、(q-p)/pは有理数（∵q-p,pが整数）
よって、√2は有理数。
これは、√2が無理数であるとの仮定に反する。

よって、1+√2は無理数。

ってな感じです。同じ調子で、一般に、tを無理数,aとbが有理数としたとき、a+btが無理数であることを証明することができます。
で、無理数から無理数を引くとどうなるのか、という話ですが、t,sを無理数、a,b,c,dを有理数とすると、a+bt,c+dsは、前述のように無理数になります。ここで、
(a+bt)-(c+ds)と引き算を作ってやると、
式A　(a+bt)-(c+ds)=(a-c)+(bt-ds)
となりますね。ここで、
1)bt-ds=0の時、
式A=(a-c)+0=a-c
a-cは、有理数同士の引き算なので、有理数になります。
2)bt-ds≠0のとき、
式A=(a-c)+(bt-ds)
a-cは、有理数同士の引き算なので、有理数になります。
bt-dsは、無理数同士の引き算なので、無理数になります。
よって、式Aは無理数です。

というわけで、bt-ds=0のときのみ、有理数になりますね。

お礼

たくさん勉強の対象をいただいたご教示を感謝いたします。背理法は特に勉強したいと思っておりましたので助かります。ありがとうございました。

回答No.1

TK0318

両方ありえます。

＊Ａ＝１＋√２、Ｂ＝√２
Ａ－Ｂ＝１＋√２－√２＝１（有理数）

＊Ａ＝２√２、Ｂ＝√２
Ａ－Ｂ＝２√２－√２＝√２（無理数）

お礼

ご回答ありがとうございます。２√２は無理数ですか。また１＋√２も私には確かに無理数であるということがわからないのですが・・・