n次元空間での直線・平面・立体....の式
ベクトルについて勉強していて疑問に思ったことがあるので質問します。
n次空間で、点(x1,x2,x3,....xn)=xo↑の位置ベクトルを通り、方向がa↑=(a1,a2,a3....an)の直線の式は、tを媒介変数として、
v↑=a↑t+xo↑で表すことができます。
2次元だったら、
v1=a1•t+x1
v2=a2•t+x2
より、
(v1-x1)/a1=(v2-x2)/a2=t
v1をx、v2をy、x1をa、x2をb、a2/a1をm
と書き直すと見慣れた直線の式
y-b=m(x-a)になりますね。
3次元では、
(v1-x1)/a1=(v2-x2)/a2=(v3-x3)/a3=t
となります。
これは、
(a,b,c)を通り、ベクトル方向が(l,m,n)
である直線の式
(x-a)/l=(y-b)/m=(x-c)/n
と同じ形です。
ということは、n次元の直線の式は、
(v1-x1)/a1=(v2-x2)/a2=(v3-x3)/a3=....(vn-xn)/an=t
ですよね。
直線の式は、n次元に拡張できました。
次に平面の式を考えます。
3次元空間内における平面(2次元)とは、ある1つの直線に直交した面です。
その平面上の定点を(x1,x2,x3)=xo↑とします。
任意の位置ベクトルを(v1,v2,v3)=v↑として、ある1つの直線の方向ベクトルを
(a1,a2,a3)=a↑とします。
平面上の任意のベクトルとa↑は、直交するので、
内積=0
すなわち、〈v↑-xo↑・a↑〉=0がなりますね。
成分で書くと、
a1(v1-x1)+a2(v2-x2)+a3(v3-x3)=0 ですね。
a↑に独立なベクトルは、3次元空間上に2本取れます。
すなわち、これは「面(2次元)」ですね。
a1をa、a2をb、a3をc、v1をx、v2をy、v3をzに書き直すと、
これは、平面の式 ax+by+cz=d になります。
このように、3次元空間では、2次元の面と1次元の直線が考えることができました。
そこで、これを4次元に拡張してみました。
4次元空間では、直線は、
(v1-x1)/a1=(v2-x2)/a2=(v3-x3)/a3=(v4-x4)/a4=t
ですね。
この直線と直交する線は、3本あります。
〈v↑-xo↑・a↑〉=0 なので、成分で表すと、
a1(v1-x1)+a2(v2-x2)+a3(v3-x3)+a4(v4-x4)=0....(1)
ですね。
ここで、質問ですが、(1)の式は、独立した3つのベクトルを含むので、「立体(3次元)」と言ってもいいのでしょうか?
もし、その認識が正しかったら、
4次元空間上での立体(3次元)の式は、xyzuを変数として、
一般にax+by+cz+du=e という式で表すことができるという認識は正しいですか?
4次元空間での直線(1次元空間)の式は、先に示したように
(v1-x1)/a1=(v2-x2)/a2=(v3-x3)/a3=(v4-x4)/a4 ですね。
3次元空間だったら、2次元空間の面と1次元空間の直線を式で書くことができました。
4次元空間だったら、3次元空間の立体と1次元空間の直線は、式として与えらると考えると、
4次元空間上での「面(2次元)」の式は、存在するのですか?
n次元に拡張したら、
a1x1+a2x2+a3x3+.......anxn=kという式は、
は、(n-1)次元空間を表す式であると言っていいのでしょうか?
また、その時、
(n-2)次元空間を表す式
(n-3)次元空間を表す式....は考えることができるのでしょうか?
多分、専門書などを解読すれば答えは見つかるかもしれませんが、自分でこのような疑問を思ったので投稿しました。
お礼
ご教示ありがとうございます。近似としては１次元ということで曲がるためには第２次元が必要であることも言えるのでしょうか・・・