正三角形の問題

質問

xy平面内に正三角形ABCがある。
点Aの座標は（3,4）であり、正三角形ABCの重心は減点と一致している。

(1)辺ABの長さを求めよ
(2)辺BCの中点の座標を求めよ

(1)は３平方で出ますよね・・・？
それで(2)は正三角形の性質を利用して解くのか、それ関係無しに解けるのかがわかりません；

どうしたらよいのでしょうか。。

回答No.2

redowl · ベストアンサー

＞正三角形ABCの重心は減点
原点（０、０）ですね？

OAの長さは、　すぐ、５　が出てきます（３、４、５の直角三角形）
（１）は、30,60,90度の直角三角形の各辺の比（１、２、√３）で解けます。
（２）は、BCの中点の座標を　（x,y）とすれば
　x^2+y^2=(5/2)^2
と、直線の式　y=(4/3)x　の二つから　連立方程式で解けます。
ヒントだしすぎ・・・・自省

お礼

御返事遅れてすみません；
参考になりました！ありがとうございました。
わかりやすかったですｖ

回答No.3

pyon1956

(1)の方は皆さんのやってらっしゃる通りで良いかと。
(2)については重心の公式
(Aの座標＋Bの座標＋Cの座標)/3＝(0 , 0)より
Bの座標＋Cの座標＝(-3 , -4)
ところがBCの中点は(Bの座標＋Cの座標)/2だから・・・とやれば簡単ですね。

お礼

確認するのが遅くなってしまいもうしわけありませんでした；
参考になりました！ありがとうございます☆

回答No.1

s_yoshi_6

2）は、特に正三角形の性質は使いません。
△ＡＢＣで重心をＧ（＝原点Ｏ）、直線ＡＧを伸ばして辺ＢＣと交わる点をＤとすると、重心の定義から、Ｄは辺ＢＣの中点となります。
同じく、重心の定義からＡＧ：ＧＤ＝２：１が成り立ちます。
（一応、図があった方が分かりやすいと思うので、参考図のＵＲＬを載せておきますね）
http://web2.incl.ne.jp/yaoki/jyuusin.htm

点Ａと重心Ｇ（原点）の座標は分かっていますので、点Ｄの座標はすぐに求められると思います。

1）はＡＧ：ＧＤ＝２：１からＡＤの長さが出ますので、30°・60°・90°の直角三角形の辺の比、１：２：√３で出せますね。

お礼

有難うございました！
とてもわかりやすかったです☆
凄い参考になりました。