極座標変換について

質問

∂2u/∂x2+∂2u/∂y2
=∂2u/∂r2+1/r*∂u/∂r+1/r^2*∂u/∂θ
∂2u/∂x2はuをxで２階偏微分の意味です。

この過程について、いろいろな本を見たのですが省略されていて分かりません。教えてください。特に、x=r*cosθ
y=r*sinθをどのように使うべきなのか教えてください。おねがいします。

回答No.3

shkwta · ベストアンサー

ご質問の式は間違っていて、右辺の第３項はθに関して２階偏微分です。
∂2u/∂x2 + ∂2u/∂y2
=∂2u/∂r2 + 1/r*∂u/∂r+1/r^2*∂2u/∂θ2
となります。
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以下は一つの解説です。

(∂/∂x)　はyを一定にしてxを変化させる偏微分演算子。
(∂/∂y)　はxを一定にしてyを変化させる偏微分演算子。
(∂/∂r)　はθを一定にしてrを変化させる偏微分演算子。
(∂/∂θ)　はrを一定にしてθを変化させる偏微分演算子。

それぞれ、《一定にするもの》が異なるので注意してください。

(1)ここで(∂/∂x)を(∂/∂r)と(∂/∂θ)で表わすとなると、「θを一定にしてrを変化させる」「rを一定にしてθを変化させる」の２つをうまく混合して、結果として「yを一定にしてxを変化させる」を実現しなければなりません。そのため、(∂/∂r)と(∂/∂θ)をどういう割合で混ぜると(∂/∂x)になるかを考えます。

(2)そこで、両者を混ぜた{A(∂/∂r) + B(∂/∂θ)}を考えます。A,Bはrとθの適当な関数です。
yを一定にするとは、
　　{A(∂/∂r) + B(∂/∂θ)} y = 0
となることであり、これがxに関する微分を表すとは
　　{A(∂/∂r) + B(∂/∂θ)} x = 1
となることです。この２つの式が両方成立することが
　　{A(∂/∂r) + B(∂/∂θ)} = (∂/∂x)
の必要十分条件です。

※偏微分演算子だけで書いた
　　{A(∂/∂r) + B(∂/∂θ)} = (∂/∂x)
のような式はわかりにくいかもしれませんが、何らかの関数 U に作用させた
　　A(∂U/∂r) + B(∂U/∂θ) = (∂U/∂x)
という式で、Uを省略して表わしていると考えてください。

(3)関数C,Dを考え、(∂/∂y)についても同様に式を立てます。
　 　{C(∂/∂r) + D(∂/∂θ)} x = 0
and　{C(∂/∂r) + D(∂/∂θ)} y = 1
⇔{C(∂/∂r) + D(∂/∂θ)} = (∂/∂y)

(4)次の４種類の偏導関数を求めておきます。x = r cos θ, y = r sin θ より

　(∂x/∂r) = cos θ
　(∂x/∂θ) = - r sin θ
　(∂y/∂r) = sin θ
　(∂y/∂θ) = r cos θ

(5)これらを(2)(3)にいれて連立方程式として解くと(r≠0)

　A = cos θ
　B = - (sin θ)/r
　C = sin θ
　D = (cos θ)/r　

(6)これで１階の偏微分は求められたので、今度は、次の形の２階の偏微分を求めます。

(∂/∂x)(∂/∂x) = {A(∂/∂r) + B(∂/∂θ)} {A(∂/∂r) + B(∂/∂θ)}
　(∂/∂y)(∂/∂y) = {C(∂/∂r) + D(∂/∂θ)} {C(∂/∂r) + D(∂/∂θ)}

これらを展開して出てくる　A(∂/∂r){A(∂/∂r)}　などは、積の微分法で求めます。

一般に公式として
　(∂/∂t)(U V) = {(∂/∂t)U} V + U {(∂/∂t) V}　
これを使い、

　A(∂/∂r){A(∂/∂r)} = A{(∂/∂r)A}(∂/∂r) + A A {(∂/∂r)(∂/∂r)}

のように求められます。

(7)これを求めるには、つぎの8個の偏導関数を求めておく必要があります。

　(∂A/∂r) = 0
　(∂A/∂θ) = - sin θ = B r
　(∂B/∂r) = (sin θ)/(r^2) = - B /r
　(∂B/∂θ) = - (cos θ)/r = - D
　(∂C/∂r) = 0
　(∂C/∂θ) = cos θ = D r
　(∂D/∂r) = - (cos θ)/(r^2) = - D /r
　(∂D/∂θ) = - (sin θ)/r = B

(8)これらの偏導関数を使うと、(6)の計算に必要な8個の２階偏導関数が計算できます。

　A(∂/∂r){A(∂/∂r)} = A^2 (∂/∂r)(∂/∂r)
　A(∂/∂r){B(∂/∂θ)} = A (- B /r)(∂/∂θ) + A B (∂/∂r)(∂/∂θ)
　B(∂/∂θ){A(∂/∂r)} = B (B r)(∂/∂r) + B A (∂/∂θ)(∂/∂r)
　B(∂/∂θ){B(∂/∂θ)} = B (- D)(∂/∂θ) + B^2 (∂/∂θ)(∂/∂θ)

　C(∂/∂r){C(∂/∂r)} = C^2 (∂/∂r)(∂/∂r)
　C(∂/∂r){D(∂/∂θ)} = C (-D/r)(∂/∂θ) + C D (∂/∂r)(∂/∂θ)
　D(∂/∂θ){C(∂/∂r)} = D (D r)(∂/∂r) + D C (∂/∂θ)(∂/∂r)
　D(∂/∂θ){D(∂/∂θ)} = D B (∂/∂θ) + D^2 (∂/∂θ)(∂/∂θ)

　上４式の和が(∂/∂x)(∂/∂x) 、下４式の和が(∂/∂y)(∂/∂y)です。

(9)これらを、A = D r, C = - B r を利用して整理します。

　A(∂/∂r){A(∂/∂r)} = D^2 r^2 (∂/∂r)(∂/∂r)
　A(∂/∂r){B(∂/∂θ)} = -B D (∂/∂θ) + B D r (∂/∂r)(∂/∂θ)
　B(∂/∂θ){A(∂/∂r)} = B^2 r(∂/∂r) + B D r (∂/∂θ)(∂/∂r)
　B(∂/∂θ){B(∂/∂θ)} = -B D(∂/∂θ) + B^2 (∂/∂θ)(∂/∂θ)

　C(∂/∂r){C(∂/∂r)} = B^2 r^2 (∂/∂r)(∂/∂r)
　C(∂/∂r){D(∂/∂θ)} = B D(∂/∂θ) - B D r (∂/∂r)(∂/∂θ)
　D(∂/∂θ){C(∂/∂r)} = D^2 r(∂/∂r) - B D r (∂/∂θ)(∂/∂r)
　D(∂/∂θ){D(∂/∂θ)} = B D (∂/∂θ) + D^2 (∂/∂θ)(∂/∂θ)

(10)これら８式の総和が (∂/∂x)(∂/∂x) + (∂/∂y)(∂/∂y) です。

　 (∂/∂x)(∂/∂x) + (∂/∂y)(∂/∂y)
　　　= (D^2 + B^2) r^2 (∂/∂r)(∂/∂r)
　　　+ (D^2 + B^2) r (∂/∂r)
　　　+ (D^2 + B^2) (∂/∂θ)(∂/∂θ)

D^2 + B^2 = 1/(r^2) なので、

　 (∂/∂x)(∂/∂x) + (∂/∂y)(∂/∂y)
　　= (∂/∂r)(∂/∂r) + (1/r)(∂/∂r) + {1/(r^2)} (∂/∂θ)(∂/∂θ)

これで、求める公式が得られました。

お礼

長文、丁寧な文ありがとうございました。理解するのに一苦労でしたがよく分かりました。微分演算子のような考え方でいいんですよね？
本当にどうもありがとうございました。

回答No.2

yumisamisiidesu

∂r/∂x,∂θ/∂x　はどうなるか
r=(x^2+y^2)^(1/2)
θ=arctan(y/x) とr,θについて解く必要あると思います
∂r/∂x
=(1/2)2x(x^2+y^2)^(-1/2)
=x(x^2+y^2)^(-1/2)
=x/r

∂θ/∂x
=忘れてしまいました(>_<;　(* 逆関数の微分でも使って思い起こしましょう)

回答No.1

yumisamisiidesu

chain ruleを適用するだけだと思います
2回使うから計算は多分めんどくさくなるかもしれません

∂2u/∂x2+∂2u/∂y2
=∂(∂u/∂x)/∂x+∂(∂u/∂y)/∂y
=∂((∂u/∂r)(∂r/∂x)+(∂u/∂θ)(∂θ/∂x))/∂x
　+∂((∂u/∂r)(∂r/∂y)+(∂u/∂θ)(∂θ/∂y))/∂y

というような感じでしょうか