東大

質問

今日の学校に行こうでやってた、
東大の数学の問題ってどんなのでしたか？
また、どうやって解くのでしょうか？

回答No.1

noname#29008 · ベストアンサー

出典は2004年東大理系第1問です。
xy平面の放物線y=x^2上の3点P,Q,Rが次の条件を満たしている．
　ΔPQRは一辺の長さaの正三角形であり，点P,Qを通る傾きは√２である．
　このとき，aの値を求めよ．

という問題です。

≪解答≫
以下，ベクトルABのことを｛AB→｝とあらわす。
正三角形のどの頂点にP,Q,Rが合致するかは，好きなように決めても一般性を失わないので，{PR→}を{PQ→}を60度回転したものであるように，P,Q,Rを定める。このとき、{QR→}は{PQ→}を120度回転したものといえる。
　そこで
　（１＋√２i)*2(cos60+i sin120)
=(1+2i)(1+√3i)
=1-√6i+(√3-√2)i
　（１＋√２i）*2(cos120+i sin120)
=-1-√6i+（√3－√2）i
により，直線PRと直線QRの傾きは
{√2+√3}/{1-√6}＝(-1/5)*(4√2＋3√3)　・・（あ）

{4√2－3√3}/{-1-√6｝＝(-1/5)(4√2－3√3)・・
（い）

P,Q,Rのx座標をp,q,rとすると，PRの傾きはp+rなので
p+r=（あ）　
QRの傾きはq+rなので、
q+r＝（い）
よってa=√３（q-p）=√3（（い）－（あ））＝18/5である。

が答えです。間違いありましたら、ご指摘ください。

補足

ずばり、難しいですか？
また、正解率は？(第1問だけに80くらいかな？)

回答No.3

noname#29008

回答No,1のものです。
第1問にしては、難しいと思います。
東京出版「大学への数学」にも、
「見た目は穏やかそうだし、1番だし、多くの人が本問から手がけたでしょうが、途中で青くなった人が少なくはなかったでしょう」とコメントしています。

お礼

ありがとうございました。

回答No.2

guuman

3点を
P(x,x^2),Q(y,y^2),R(z,z^2)
とする
PQとx軸との角をsとすると
(x^2-y^2)/(x-y)=x+y=tan(s)
同様にして
y+z=tan(s+π/3)
かつ
z+x=tan(s+2・π/3)
すなわち
x+y=tan(s)=√2
y+z=tan(s+π/3)=(√2+√3)/(1-√6)
z+x=tan(s+2・π/3)=(√2-√3)/(1+√6)
すなわち
x+y=√2
y-x=(√2+√3)/(1-√6)-(√2-√3)/(1+√6)
一方
a＾2=(x-y)^2+(x^2-y^2)^2=(y-x)^2・(1+(x+y)^2)