πが無理数であるという証明・・・

質問

高校1年生です。
教科書にπは無理数って書いてあったんですが、納得いきません。先生に聞いても「難しい証明だから・・・」っていわれて・・・調べてみたんですが、わかりません。
高1にもわかる様に証明してください。
お願いします。

回答No.9

suzuki1

皆自己満足で終わってて質問者の内容に答えてすらない訳な＾＾

回答No.8

betagamma

それは、難しい証明です。
どのくらい難しいかというと、たぶん、その先生も証明できない可能性が高いと思います（笑）

ただ、直感的に理解することはできます。#1の方と、似たやり方になりますが。
まず、一辺が１の正方形を書いてください。次に、その正方形の中心と中心を同じくする、半径0.5（直径１）の円があるとします。
まぁ、早い話が、一辺が１の正方形の内側に接するように、円を描くんです。

さて、この円の面積は、π*(1/2)*(1/2)=π/4ですよね。πを有理数q/pとします。すると、この円の面積は、(q/p)*(1/4)=q/4pにという有理数になりますね。

次に、正方形の一辺をk等分、一辺をn等分します。すると、正方形が、一つの面積が1/knの長方形に分割できますよね？

ここで、kn=4pになるようにk,nを定めてみます。すると、円の面積はq/4p=q/knになりますね。ということは、1/knの長方形をq個持ってくると円の面積に等しくなります。

つまり、πが有理数であるということは、「円の面積と、上記のように分割してできた長方形の面積が完全に等しくなるようなk,nが存在する」ということを主張しているわけです。
もっと端的に言えば、「円をたくさんの長方形で近似していくと、あるところでぴったり同じにできる」ことを示しています。

直感的におかしいですよね？

回答No.7

hidecho

No.4でアドバイスしたものです。ごめんなさい、訂正です。
「かのアルキメデスが・・・：30/71＜π＜30/70」しか・・・
　　　　　　　　　　　　　↓
「かのアルキメデスが・・・：3と10/71＜π＜3と10/70」
です。

回答No.6

k_train_9999

これはちょっと無理があるように思います。レベル的には大学の数学科の専門課程程度です。代数学でやる超越数というところでやるのですけど。
　あと高２か高３ででてくる自然対数e＝２．７１８２８１８２８４５９０１４・・・・・というのも無理数なのですがこの証明も同じくらいのレベルです。
　高校の数学がわかっていればなんとかというくらいのレベルです。

　http://www1.ocn.ne.jp/~yoshiiz/pdf/pi_transnum.pdf
http://www.tulip.sannet.ne.jp/tetsuya-daiku/pai.html

http://homepage2.nifty.com/tangoh/oosaka03k4.html

回答No.5

springside

>>高1にもわかる様に証明してください。

不可能です。

No.3の方が紹介しているもののように、少なくとも高校数学全部の範囲は必要でしょう。

回答No.4

hidecho

πが無理数でないとすれば
πは有理数(※)であるってことになりますが…
残念ながら
かのアルキメデスが正96角形まで描いても「πに近い値：30/71＜π＜30/70」しか出せなかったんですって。
(※)有理数・・・分子・分母ともに整数で表される分数（整数で表される比の値）

πは連分数(分数の分母の中にさらに分数がはいっている←これが無限にず～っとつづく）で表され・・・。
つまり、整数の分数では表せないようですね。

【おまけ】πってなんと今日、今現在でも計算を続けられている無理数で100億桁を超える桁数が算出されてるそうですョ♪

参考URL：

http://homepage3.nifty.com/y_sugi/cf/cfm/cfm1b.htm

回答No.3

sunasearch

参考URLの検索結果の一番上のPDFファイル内に証明が載っています。

高校数学を前提にしているといっても、難しいでしょうね。。。

参考URL：

http://www.google.co.jp/search?hl=ja&ie=Shift_JIS&q=%83%CE%81@%96%B3%97%9D%90%94%81@%8F%D8%96%BE&lr=

回答No.2

keroro001

http://www.asahi-net.or.jp/~xc8t-tkd/math/sec19.html

うーん、これくらいしか見つかりませんでした。
難しいです。
超越数ってなに？
いや、俺が質問しちゃダメか（笑）

回答No.1

noname#25358

俺が聞いてて分かりやすいなと思ったのは、パソコンの画面を使った説明でした。

　たとえば、ペイントソフトを使って円を描きます。円描画機能を使ったまぁるい円です。
　で、これを拡大するんです。
　すると、その円は果たして「綺麗な円」でしょうか？
　しかし実際には、ギザギザした円となって表示されるはずです。

　では次に、２０００年先の未来へワープして、現在よりも百万倍もの解像度を持った超高性能コンピュータを使用して同じことをしてみます。
　やはりペイントソフトを使って円を描き、そしてそれを拡大表示するんです。（めっちゃ処理速度速いだろうなぁ(笑)）
　すると、その円は果たして「綺麗な円」となるでしょうか。

　答えは「否」です。
　円が「点の塊」である限り、どこまでいってもギザギザは出てしまうんです。

　これは、数学理論上の円が「割り切れない位置にも点を持つ」ため、完璧な円をコンピュータで描くことはできないからです。

　コンピュータで描けないということは、つまり割り切れないということであり、すなわち「円周率はどこまで行っても割り切れない」んです。

　もちろん、この説明で１００％完璧に理解できるかってぇと、俺もできてません。
　ですが「なるほど」と思うくらいはできると思います。