行列の表示方法

質問

某参考書にこのようなものが記載されていました。
Ｖは2行2列の行列式です。

Ｖ(12)Ｖ(13)Ｖ(12)=V(23)

これはどのような原理から行列V(23)が出てくるのでしょう？
またこの表示で言うと行列V(123)若しくは行列V(132)はどのような式から導き出せるのでしょうか？教えてください。よろしくお願いします。

回答No.12

guiter · ベストアンサー

補足を読ませていただいたのですが、
　V(P)=E(12)(13)(23)(123)(132)
は行列の集合なのではないでしょうか？
つまり、３つの電子のうち２つを交換する演算子(ij)としては
　(12)=(21),(13)=(31),(23)=(32)=(12)(13)(12)
なので異なるものは
　(12),(13),(23)
の３通りだけです。また、３つの置換を考えると
　(123)=(13)(12)
　(132)=(12)(13)
　(213)=(23)(21)=(23)(12)=(12)(13)(12)(12)=(12)(13)=(132)
　(231)=(21)(23)=(12)(23)=(12)(12)(13)(12)=(13)(12)=(123)
　(312)=(32)(31)=(32)(13)=(13)(12)(13)(13)=(13)(12)=(123)
　(321)=(31)(32)=(13)(32)=(13)(13)(12)(13)=(12)(13)=(132)
なので、異なるものは
　(123),(132)
の２通りだけです。
あとは、(ij)を２回作用させた恒等変換 E が存在します。
以上より、3原子で S=1/2 の時すべての置換 P に対して V(P) は
　E,(12),(13),(23),(123),(132)
の６通り存在するということを言っているのだと思います。
(　E(12)(13)(23)(123)(132) が行列の積だとは思えないので)
最後の V(P) については私はこのくらいしか考えられません。

納得がいかない場合は研究室の指導教官か先輩に尋ねてみてください。
このサイトでたまに専門性の高い質問が見られますが、
回答者の人数もどうしても減ってしまいます。
本当はここでやりとりしているよりも指導教官に尋ねたほうが良いと思いますよ。
なんといっても、参考資料を渡した本人ですからね。

お礼

これから、修士の研究内容について分からない事が出たら、恐れず指導教官に聞くようにしようと思います。私の知りたかったことについては、お陰さまで一応理解する事が出来ました。本当に有難うございました。

回答No.1

prome

V(12)の(12)の部分は、どういう意味でしょうか？

想像ですが、(ab)は置換群の表示かもしれませんね。
(ab)はaをbに置換し、bはaに置換するという意味。

だとすると、Ｖ(12)Ｖ(13)Ｖ(12)は置換群の合成表示で
(12)(13)(12)は
1->2 2->1 と置換してから
1->3 3->1 と置換し、そのあと
1->2 2->1 と置換するから、
合成すると、2->3 3->2 つまり(23)になります。

違いますか？

補足

多分、「prome」さんの想像されている置換で良いと思います。
置換群の合成表示の所で分からない所があるので、詳しく説明してください。

Ｖ(12)Ｖ(13)Ｖ(12)は置換群の合成表示で
(12)(13)(12)は
1->2 2->1 と置換してから
1->3 3->1 と置換し、そのあと
1->2 2->1 と置換するから、
合成すると、2->3 3->2 つまり(23)になります。

で、1->2 2->1 と置換すると
(21)(13)(12)と成ると言う事ですね？それで
1->3 3->1 と置換すると
(21)(31)(12)となって
1->2 2->1 と置換することで
(21)(31)(21)に成るのですよね？

これを合成すると(23)に成るとおっしゃっていますが…
合成するのは、どのように考えたらよいのでしょうか？
申し訳ございません。もう少し詳しく噛み砕いて教えてはいただけないでしょうか？