多項式を行列式で表示したい

質問

次の多項式(1)をただ一つの行列式 ｄｅｔ(Ａ) で表示したいのですが，
可能でしょうか？

Ａ＝ａ＋ｃｄ＋ｅｆ＋ｇｈ　・・・(1)

例えば，(1)のＡは，２行２列の行列式を用いれば，

Ａ＝ |ａ　０|＋|ｃ　０|＋|ｅ　０|＋|ｇ　０|
　 　|□　１|　|△　ｄ|　|◇　ｆ|　|▽　ｈ|

と書けるますが，これではいけません．ｄｅｔ(Ａ)を４行４列の行列式で

ｄｅｔ(Ａ)＝|ａ　　ｃ　　ｅ　　ｇ|　・・・(2)
　　　　　　|☆　☆　☆　☆|
　　　　　　|△　△　△　△|
　　　　　　|□　□　□　□|

と表示したいのです．例えば，Ｂを

Ｂ＝ａ＋ｃｄ＋ｅｆ　・・・(3)

とすると，ｄｅｔ(Ｂ)は，

ｄｅｔ(Ｂ)＝ | 　ａ　 ｃ　　ｅ|
　　　　　　|　０ 　ｆ　－ｄ|
　　　　　　|－１　０　1/ｆ|

と表示出来ます．では，ｄｅｔ(Ａ)はどうでしょう？
４行４列の行列式表示が可能でしょうか？

回答No.3

nakaizu · ベストアンサー

問題の意図がはっきりとは分らないのですが、各行が
(a,c,e,g)
(-d,1,0,0)
(-f,0,1,0)
(-h,0,0,1)
の行列の行列式ではだめでしょうか。
「ａ，ｃ，ｄ，ｅ，ｆ，ｇ，ｈａ，ｃｄ，ｅｆ，ｇｈのいずれか」
ではなく0や1もありますが、御希望のものに近いように思います。

お礼

お礼：nakaizu さん，ご回答ありがとうございます．0 や 1 などの数値は含んでいてもかまいません．とても参考になりました．しかし，貴殿の行列式

| a,c,e,g|
|-d,1,0,0|
|-f,0,1,0|
|-h,0,0,1|

を a11=a, a22=1, a33=1, a44=1 で余因子（小行列式）展開で計算しますと以下の通りになります．

| a,c,e,g|
|-d,1,0,0|
|-f,0,1,0|
|-h,0,0,1|
=
a|1,0,0|　　　　　(=a)
|0,1,0|
|0,0,1|

+1・| a,e,g|　　　　　(=a+ef+gh)
　　|-f,1,0|
　　|-h,0,1|

+1・| a,c,g|　　　　　(=a+cd+gh)
　　|-d,1,0|
　　|-h,0,1|

+1・| a,c,e|　　　　　(=a+cd+ef)
　　|-d,1,0|
　　|-f,0,1|
=2(2a+cd+ef+gh).

a+cd+ef+gh ではないので， a11=a, a22=1, a33=1, a44=1 の部分を工夫すれば，良さそうな気がします．a11, a22, a33, a44 の部分に a と -1 や 2 や 1/2 などを使うといいような気がします．良いヒントをいただきましたので，これを基に考えてみます．ありがとうございました．なお，
a11=a, a21=-d, a31=-f, a41=-h で余因子（小行列式）展開で計算しますと
a+cd+ef+gh になります．また，
a11=a, a12=c, a13=e, a14=g で余因子（小行列式）展開で計算しますと
a+cd+ef+gh になります．
もし，お気づきの点などがあって，投稿して頂くと助かります．有り難う御座いました．

回答No.4

nakaizu

対角成分による余因子展開? では行列式は求められませんが、何か勘違いされているのではないでしょうか。

お礼

>対角成分による余因子展開? では行列式は求められませんが、
>何か勘違いされているのではないでしょうか。

そうでした．勘違いでした。従いまして，貴殿の回答が正しいです．
お騒がせし，お時間を取らせましたことをお詫びします．
ご指摘，有り難う御座いました．

回答No.2

jmh

（２）を見落としてた。

|ａ　ｃ　　　ｅ　ｇ　　　　　　　　　|
|０　１／ａ　０　０　　　　　　　　　|
|０　０　　　１　０　　　　　　　　　|
|０　０　　　０　ａ＋ｃｄ＋ｅｆ＋ｇｈ|

お礼

ご回答，有り難う御座いました．

補足

回答ありがとうございました．確かに，その通りで正しいです．しかし，
これでは，いけません．
私の質問の書き方に不備，言葉足らずの点がありました．申し訳ありません．

ｄｅｔ(Ａ)＝|a11　a12　a13　a14|　・・・(2a)
　　　　　　|a21　a22　a23　a24|
　　　　　　|a31　a32　a33　a34|
　　　　　　|a41　a42　a43　a44|

の行列式の各要素 aij (i=1,2,3,4, j=1,2,3,4) は，
ａ，ｃ，ｄ，ｅ，ｆ，ｇ，ｈａ，ｃｄ，ｅｆ，ｇｈのいずれかにしたいのです．
例えば，ｄｅｔ(Ｂ)のように，．．．
Ａ＝ａ＋ｃｄ＋ｅｆ＋ｇｈそのものを行列式の要素にはしたくないのです．
その代わり，ａ，ｃ，ｄ，ｅ，ｆ，ｇ，ｈａ，ｃｄ，ｅｆ，ｇｈ は，
行列式の各要素のどの位置にあっても，かまいません．

回答No.1

jmh

|ａ＋ｃｄ＋ｅｆ＋ｇｈ　０　０　０|
|０　　　　　　　　　　１　０　０|
|０　　　　　　　　　　０　１　０|
|０　　　　　　　　　　０　０　１|

お礼

ご回答，有り難う御座いました．