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トランプ占いの確率
スペードの1-13のセットとハートの1-13のセットから 1枚ずつひいて行き13個のペアを作る。この時 同じ数字のペアがN組できる確率は？ N=0の確率は 12/13・11/12・10/11・9/10.... = 1/13 だと思いますが N=1の確率を同じようにやろうとすると 1/13・11/12・10/11・9/10.... = 1/13・1/12 となって やけに低くなります。N=2,3はもっと低くなるし、、、 どなたか正解を教えてください。 N=12の確率が０というのはわかるんですけど (^^;;
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＃６です。計算が合っている保証はないのですが、以下の通りです。どうぞ。 N=0 のとき 0.3678794412 N=1 のとき 0.3678794413 N=2 のとき 0.1839397196 N=3 のとき 0.0613132440 N=4 のとき 0.0153282995 N=5 のとき 0.0030656829 N=6 のとき 0.0005109127 N=7 のとき 0.0000730269 N=8 のとき 0.0000090939 N=9 のとき 0.0000010334 N=10 のとき 0.0000000919 N=11 のとき 0.0000000125 N=12 のとき 0.0000000000 N=13 のとき 0.0000000002 ついでに期待値も計算してみました。１組になりました。組がたくさんできるのは珍しいようです。
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- eatern27
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#5です。 よく考えると、 {Σ[r=0 to 13-N](-1)^r/r!}/N! のように変形すれば、N=13を例外扱いしなくてすみますね。 (-1)^r/r!は、((-1)^r)/r!です。 要するに rが偶数の時は1/r!,奇数の時は-1/r!です。 {Σ[r=0 to 13-N](-1)^r/r!}/N! を具体的に求めてみたら、#7さんと全く同じ数値になったので、 N(13,n)/13!={Σ[r=0 to 13-n](-1)^r/r!}/n! となっていると思われます。 もしかしたら、一般には、 N(m,n)/m!={Σ[r=0 to m-n](-1)^r/r!}/n! となっているのかもしれません。
お礼
ありがとうございます。 皆さんすごいですね。
- Naoki_M
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とりあえず解いてみました。既に＃４さんが詳しく説明されていますが。 確率を考える前に、まず場合の数を計算します。わかりやすくするために、カードが２枚ずつの場合を考えましょう。N=2のとき１通り、N=1のとき０通り、N=0のとき１通りです。 次に、カードが３枚ずつの場合、N=3のとき１通り、N=2のとき０通りです。 N=1のときは、組のできるカードと組のできないカードに分けて考えます。１～３のうちどれか１つで組ができます。残った２枚のカードでは組ができません。組ができるカードの選び方は3C1通り、残ったカードで組ができない場合の数は、カードが２枚でN=0の場合と同じなので1通り。 したがって求める場合の数は3C1*1=3 ３通り です。 N=0のときは 3!-(1+0+6)=2 ２通り 同様にカードの枚数を１枚ずつ増やして計算していけば、場合の数が計算できます。１セットのカードの枚数をm、同じ数字の組の数をnとして、場合の数をN(m,n)とすると、以下の式が成り立ちます。 N(m,m)=1 N(m,m-1)=0 N(m+1,n)=(m+1)Cn * N(m,0) N(m,0)=m!-Σ(k=1 to m) N(m,k) 求める確率はN(m,n)/m! これで計算できると思います。表計算ソフトを使ったら楽に計算できました。
お礼
ありがとうございます。 申し訳ありませんが答えもお願いできませんか？
- eatern27
- ベストアンサー率55% (635/1135)
スペードとハートの束からそれぞれ引いて、引いた順にペアを作る、とのことですが、 例えば、ハートの束から順番に引いて、引いた順にスペードの1,スペードの2,・・・,スペードの13とペアを作ると考えても同じ事ですね。 答えは、おそらく、 13ＣN*{(13-N)!+Σ[r=1 to 13-N](-1)^r(13-NＣr)(13-N-r)!}/13! ={1+Σ[r=1 to 13-N](-1)^r/r!}/N! だと思いますよ。(Ｎ＝13の時、Σの項＝0とすれば、N=13の時も成り立つ) 規則性を見つけるには、 N=13,12,11,・・・,1 の順に考えていった方がいいかもしれませんね。
お礼
ありがとうございます。 難しい式ですね (-1)^r/r! は -1の(r/r!)乗ですかね？
まずはN=0の場合が間違っています。 わかりやすく、ペアにした後、スペードの小さい順に ペアごと並べなおすとします。つまり1個目のペアのスペードの ナンバーは1とします。 式のはじめに出てくる12/13は1枚目に13枚のカードのうち 1を除いた12枚がOKということだと思います。 また、次の11/12は2枚目に残った12枚のうち11枚OK ということを言っているのではないかと思います？ それを繰り返すことが間違っています。 わかりやすく3枚の例と4枚の例で比較します。 N=0となるような組み合わせを考えます。 3枚の場合、ハートの1枚目が3だった場合、2枚目に2が来ると そろってしまいます。そのため2枚目に選べる数は1/2。 またハートの1枚目が2だった場合、ハートの2枚目には 1と3が入る可能性があります。しかしN=0となるような 組み合わせということなので、2枚目に1が来てしまうと、 3枚目でそろってしまいます。 そのためN=0となる確率は 1/3*1/2+1/3*1/2=2/3*1/2であっています。 ただ、この1/2ですが、はじめの例と後の例では意味合いが 違うような感じがしませんか？1枚目が3の場合は、 2枚目の時点で片方しか選べない、1枚目が2の場合は 2枚目は一応残ったカードのどっちでもOK。ただ、3枚目で おかしくなるから、片方を選ぶというわけです。 これを4枚で考えます。 ハートの1枚目が3だった場合、残りのカードは1,2,4。その中で 2枚目は2を選べないのでOKなのは1と4。なので、2/3が いえます。しかし、ハートの1枚目が2だった場合、 残りのカードは1,3,4。この時点ではどれを選んでも 2枚目では矛盾しないわけです。つまりハートの1枚目が2 だった場合、N=0を満たす2枚目の選び方は現時点で確率1なわけです。 最終的には3枚目、4枚目がどう来るかという組み合わせ次第で すべてがOKというわけではないのですが、 12/13・11/12・10/11…という考え方では数が多くなれば 取りこぼしが出てくるというわけです。 N=1の時にコンビネーションを使わなければならないのは #3さんのおっしゃるとおりです。 ちなみに答えを出すヒントとして。 1)数を少なくしてすべて書き出し、法則を見つける 2)逆から考えてみましょう。トランプの枚数が多くなると 特にN=0の計算が複雑になります。逆にN=11、10から 考えていくのです。 たとえば4枚の場合、スペードが1枚目から順番に1,2,3,4と ある。で、ハートはいろんな組み合わせが考えられる。 N=4の場合はハートも順番どおりで1通りですね。 N=3はありえない。 N=2はN=4つまり順番どおりのうち2つ数字を選択して ひっくり返せばN=2です。このひっくり返し方は 片方ともう片方をかえるだけの1通り、で選び方は 4個の数字から2個選択だから、4C2*1ですね。 N=1も同じように4個の数字から3個選んで順番を変える わけです。選び方は4C3ですが、順番の変え方は 例えば123は123、132、213、231、312、321の6通りに かえられますが、123はそのまま、213と321と132は1個そのまま なのでN=1に矛盾します。よって（3!-3C3-3C2)なので 並べ替え方は2通り。よって4C3*2=8通り N=0はその残り。 とやったほうが早そうです。
お礼
ありがとうございます >まずはN=0の場合が間違っています。 そうなんですか、これは合ってるかと思ったのですが。 No3.にもちょっと書きましたが、正直なところ数学の勉強で質問したわけではなく、トランプで遊んだ時にあまりペアが揃わなかったので、いったいペア数毎の確率はどうなってるのか知りたかった、という事でして。 うーん、自分では答えがでそうもありません。
- neKo_deux
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> N=1の確率を同じようにやろうとすると > 1/13・11/12・10/11・9/10.... = 1/13・1/12 となって > やけに低くなります。 これは、 (1が揃う確率)・(2が揃わない確率)・(3が揃わない確率)....の計算だと思いますが、 N=1になる場合は、1が揃って他がダメな場合、2が揃って他がダメな場合、.... と13通りありますので、さらに13倍します。 N=2の場合、1と2が揃う場合、1と3が...と、コンビネーションを使った計算になっていきます。 -- まずは、 スペードの1-3のセットとハートの1-3のセットから などと少ない枚数から考えてみては？
お礼
ありがとうございます。 考え方がわかりました。ただ、、 実は学校出てから３０数年のおやじでして 組み合わせの計算とかすっかり忘れています。 虫のいい話とは思いますが式か答えを教えて いただけると助かるのですが
- ymmasayan
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これはなかなか一筋縄ではいかない問題ですね。 確かに１２組揃う確率はゼロです。 それも１２組の時だけですね。 これを確率計算で表現するのは相当難しそうです。 専門家または詳しい方の回答を待ちましょう。
お礼
ありがとうございました. やっぱり難しそうですね．
- hiro51hiro51
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確率の計算はあまり詳しいほうではないですが、 少なくともN=12のときはゼロではありませんよ。 確かにゼロに限りなく近いですが・・・。 N=13の場合もあります。 その確率は1/13!（!は階乗）です。たぶん。。。
お礼
お礼はこちらでしたね。 ありがとうございました
補足
ありがとうございます。 １２組揃うと残りの１組は必ず揃っている ので結局１３組揃うことになってN=12はありえない という事になると思うんですけど。
お礼
ありがとうございました。お手数をかけしました。 ちなみにまだ４回しかやっていませんが、 N=0 1 N=1 2 N=2 1 です。納得しました。 ４以上はかなりむずかしそうですね。