三角形の内角の和は本当に180度か

質問

三角形の内角の和は本当は180度より大きいということはないでしょうか？

どうしてそう思ったかといいますと、
例えばの話、球面上にいる二次元生物がいるとします。この二次元生物が球面上の北極を頂点、赤道の４分の１の長さを底辺とした三角形を描きます。この二次元生物にとっては各頂点は最短距離を結ばれていて三角形を描いているように思われますが、内角の和は270度になりますよね？
これを私達の３次元に拡張して、非常に離れた（宇宙の大きさと同じくらい離れた）３点を結び巨大な三角形をつくると同じように270度とかになったりすることがあるのかななどと思ってしまいましたが、何か大きな勘違いをしているのでしょうか？

回答No.9

proto · ベストアンサー

ユーグリッド幾何学の公理の中に
『一つの直線上に無い点を通り、その直線に平行な直線が
ただ一つ引ける』
というものがあります
一般的に平行線公理と呼ばれていますが
この公理があれば
三角形の内角の和が180°であることが証明できます

しかし、これは公理系から証明できるという問題で
実際にこの公理系に当てはまるモデルを考えなければ意味がありません
で、このユーグリッド幾何に当てはまるモデルが真っ平らな平面上での幾何学なのです

質問者さんが考えている球面上でのモデルでは
平行線公理が成り立たず
『一つの直線上に無い点を通り、その直線に平行な直線は存在しない』
となります、言い換えると
『２直線は必ず交わる』
となり、平行線公理の代わりにこの公理を取り入れたものが
非ユーグリッド幾何です

この非ユーグリッド幾何の公理系から導き出される定義の一つに
『三角形の内角の和は180°より大きい』
があります
つまり、球面上での幾何学は非ユーグリッド幾何のモデルであり
そのモデルでは確かに質問者さんの言うことは正しいのです

ちなみに、宇宙空間上で三角形を書いて
内角の和が本当に180°になるかと言うのは
数学の問題ではなく物理学の問題です
宇宙が明日消えてしまったとしても、平面に三角形を書いて内角の和を考えることは出来るのです、宇宙が消えてしまえば考える人も消えてしまいますが
(数学ではユーグリッド幾何が成り立つ、または成り立たないと最初に決めて話を進めます)

この問題に対する答えは、アインシュタインが相対性理論の中で出してくれていて
私たちの住む宇宙では、ユーグリッド幾何は近似的にしか成り立たないそうです
つまり、重力によって時空自体が歪められてしまう
私たちの宇宙では三角形の内角の和はだいたい180°にしかならないということですね

さらに補足ですが
球面は我々がユーグリッド幾何の範囲で考えているので
曲面に見えますが、非ユーグリット幾何ではその球面を
平面として扱います
まぁ、球面もユーグリッド幾何の意味で使ってますが
平面も、直線もいわゆる無定義語なので、公理系を満たせば何でも構わないんですね

お礼

相対性理論の中でも取り上げられているのですか。
私達が学校で習う数学はユーグリッド幾何に基づいたもので、それは近似的にしか成り立たないものなんですね。大分しっくりしてきた気がします。ありがとうございます。

補足

ユークリッド幾何と非ユークリッド幾何の関係というのは、古典物理学と量子物理学の関係と同じようなものと考えたらいいのでしょうか？近似しているという意味で。

回答No.6

kfir2001

平面上の三角形の内角の和が１８０度になることについては、納得しているわけですね。
平面上ではない、球面上では内角の和は１８０度以上になることも知っていて、現実の宇宙ではどうなっているかを知りたいということですね。

たとえば、非常に重力の強いところでは、光が曲がることが知られています。曲率０ではないのです。
そういうところでは、平面そのものがゆがんでいるわけですから、三角形の内角の和は１８０度になりません。

お礼

ええ、まさにそういう意味で質問しています。
三角形が限りなく小さくなると、内角の和も180度に近づくのかな。

回答No.5

nobugs

まず、定理の前提条件として。
１、平面上の
２、３点を
３、直線で結んだ３角形の
４、内角の和は１８０°
となっています。

想定の１番目では、平面ではなく、球面の表面上に描かれた三角形ですから、曲線で結ばれるので定義に外れます。

宇宙空間では、空間自体が捩れているとの説もあります。
定理として特殊界での話しですから、一般界では直線の定義も変わってきます。

回答No.4

yuji-takamatsu

二次元と三次元が混同していませんか？
算数などで言う三角形の内角の和の１８０度はあくまでも二次元の世界です。
地球を例に取った球体の場合は球面上にラインを描くと三次元になりませんか？
あなたが言う「球状の二次元生物」は「三次元生物」の事です。

りんごを用意して皮をその形に切ってみてください
無理やり二次元にすると直線の三角形でなく「ちょっと膨らんだ三角形」になるはずですよ

回答No.3

ayapapa01

質問の図形はそれぞれの辺が直線ではないですね。球面です。

回答No.2

ceita

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9D%9E%E3%83%A6%E3%83%BC%E3%82%AF%E3%83%AA%E3%83%83%E3%83%89%E5%B9%BE%E4%BD%95%E5%AD%A6
非ユークリッド幾何学と呼ばれる分野として
研究されているはずです。

回答No.1

otasuke009

三角形の内角の和は180度というのは平面幾何の話でしょう。ご指摘の前半の例だと270度ですね（球面幾何？）
後半の例だと３次元の意味はあまり感じられません。３点を含む平面を考えれば、内角の和は180度になるでしょうし、球面を考えれば270度になることもあるでしょう（そうでないことも当然あります）。

お礼

＞３点を含む平面を考えれば

私達３次元の人間が平面と思っているものが４次元の世界からみたら実はゆがんでいるということはなのでしょうか？

例えば宇宙をどこまでもまっすぐに進んでいくと元の場所に戻るかもしれないという考え方があるので。

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=1106141